已知函數(shù)f(x)=
43
x3
+ax-1(a∈R),其中f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).
(Ⅰ)若曲線f(x)在點(1,f(x))處的切線與直線2x-y+1=0平行,求a的值;
(Ⅱ)設(shè)g(x)=f'(x)-ax-4,若對一切|a|≤1,都有g(shù)(x)<0恒成立,求x的取值范圍.
分析:(I)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù),從而求出切線的斜率與直線2x-y+1=0的斜率相等,從而求出a的值;
(II)先求出函數(shù)g(x)的解析式,令φ(a)=(1-x)a+4x2-4,因為對一切|a|≤1,都有g(shù)(x)<0恒成立等價于對一切|a|≤1,都有φ(a)<0恒成立,然后建立不等關(guān)系,解之即可求出x的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)f'(x)=4x2+a,
f'(1)=4+a=2,
所以a=-2.

(Ⅱ)g(x)=f'(x)-ax-4=4x2-ax+a-4,
令φ(a)=(1-x)a+4x2-4,
因為對一切|a|≤1,
都有g(shù)(x)<0恒成立等價于對一切|a|≤1,都有φ(a)<0恒成立.
所以
φ(-1)<0
φ(1)<0
4x2-x-3<0
4x2+x-5<0
解得-
3
4
<x<1

則當(dāng)x∈(-
3
4
,1)
時,對一切|a|≤1,都有g(shù)(x)<0恒成立.
點評:本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,以及恒成立問題,同時考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想,屬于基礎(chǔ)題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
4(a-3)x+a+
1
2
(x<0)
ax,(x≥0)
,若函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(3,
1
8
),則a=
 
;若函數(shù)f(x)滿足對任意x1≠x2,
f(x1)-f(x2)
x1-x2
<0
都有成立,那么實數(shù)a的取值范圍是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
4-x2
|x-3|-3
,則它是( 。
A、奇函數(shù)B、偶函數(shù)
C、既奇又偶函數(shù)D、非奇非偶函數(shù)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
4-x2(x>0)
2(x=0)
1-2x(x<0)
,
(1)求f(a2+1)(a∈R),f(f(3))的值;
(2)當(dāng)-4≤x<3時,求f(x)取值的集合.

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已知函數(shù)f(x)=
4•2x+2
2x+1
+x•cosx (-1≤x≤1)
,且f(x)存在最大值M和最小值N,則M、N一定滿足(  )

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已知函數(shù)f(x)=
4-x2(x>0)
2(x=0)
1-2x(x<0)
,
(1)畫出函數(shù)f(x)圖象;
(2)求f(a2+1)(a∈R),f(f(3))的值;
(3)當(dāng)-4≤x<3時,求f(x)取值的集合.

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