Question

16．某校數(shù)學(xué)文化節(jié)同時安排A、B兩場講座，已知甲、乙兩寢室各有6位同學(xué)，甲寢室1人選擇聽A講座，其余5人選擇聽B講座，乙寢室2人選擇聽A講座，其余4人選擇聽B講座，現(xiàn)從甲、乙兩寢室中各任選2人．
（1）求選出的4人均選擇聽B講座的概率；
（2）設(shè)ξ為選出的4人中選擇聽A講座的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）利用相互獨立事件概率乘法公式能求出選出的4人均選擇聽B講座的概率．
（2）由題意得ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）∵甲、乙兩寢室各有6位同學(xué)，甲寢室1人選擇聽A講座，其余5人選擇聽B講座，
乙寢室2人選擇聽A講座，其余4人選擇聽B講座，現(xiàn)從甲、乙兩寢室中各任選2人，
∴選出的4人均選擇聽B講座的概率：
p=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{6}^{2}}×\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{4}{15}$．
（2）由題意得ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{6}^{2}}×\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{12}{45}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{6}^{2}}×\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$+$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{6}^{2}}×\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{22}{45}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{6}^{2}}×\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$+$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{6}^{2}}×\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{10}{45}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{6}^{2}}×\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{45}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{12}{45}$	$\frac{22}{45}$	$\frac{10}{45}$	$\frac{1}{45}$

Eξ=$0×\frac{12}{45}+1×\frac{22}{45}+2×\frac{10}{45}+3×\frac{1}{45}$=1．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．