(2009•錦州一模)已知函數(shù)f(x)=alnx+bx4-c(x>0)在x=1處取得極值-3-c,其中a,b,c為常數(shù).
(1)試確定a,b的值;  
(2)討論函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;
(3)若對任意x>0,不等式f(x)≤-2c2恒成立,求c的取值范圍.
分析:(1)由f(x)在x=1處取得極值-3-c,可得
f(1)=-3-c
f(1)=0
,解出即可;
(2)利用f'(x)>0,此時f(x)為增函數(shù);f'(x)<0,此時f(x)為減函數(shù).即可求得其單調區(qū)間.
(3)要使f(x)≤-2c2(x>0)恒成立,只需[f(x)]max≤-2c2≤-2c2.利用(2)即可得出函數(shù)f(x)的最大值.
解答:解:(1)由題意知f(1)=-3-c,∴f(1)=b-c=-3-c,從而b=-3.
f′(x)=
a
x
+4bx3

由題意f'(1)=0,因此a+4b=0,解得a=12.
(2)由(1)知f′(x)=
12
x
-12x3=
12(1-x4)
x
(x>0),
令f'(x)=0,解得x=1.
當0<x<1時,f'(x)>0,此時f(x)為增函數(shù);
當x>1時,f'(x)<0,此時f(x)為減函數(shù).
因此f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,1),而f(x)的單調遞減區(qū)間為(1,+∞).
(3)由(2)知,f(x)在x=1處取得極大值f(1)=-3-c,此極大值也是最大值,
要使f(x)≤-2c2(x>0)恒成立,只需-3-c≤-2c2
即2c2-c-3≤0,從而(2c-3)(c+1)≤0,
解得-1≤c≤
3
2

所以c的取值范圍為[-1,
3
2
]
點評:本題綜合考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值、最值等性質,要注意分離參數(shù)法、轉化法的運用.
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