Question

已知點E，F(xiàn)分別是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB，AA₁的中點，點M，N分別是線段D₁E與C₁F上的點，則與平面ABCD垂直的直線MN有（　�。�

• A、0條
• B、1條
• C、2條
• D、無數(shù)條

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出與平面ABCD垂直的直線MN只有1條．

解答： 解：設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，
以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系，
則D₁（2，0，2），E（1，2，0），

D1E

=（-1，2，-2），
C₁（0，0，2），F(xiàn)（2，2，1），

C1F

=（2，2，-1），
設(shè)

D1M

=λ

DE

，則M（2-λ，2λ，2-2λ），
設(shè)

C1N

=t

C1F

，則N（2t，2t，2-t），
∴

MN

=（2t-2+λ，2t-2λ，2λ-t），
∵直線MN與平面ABCD垂直，
∴

2t-2+λ=0 2t-2λ=0 2λ-t≠0

，解得λ=t=

2

3

，
∵方程組只有唯一的一組解，
∴與平面ABCD垂直的直線MN有1條．
故選：B．

點評：本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系，主要是直線與平面平行的判斷和面面平行的判定與性質(zhì)，考查空間想象能力和簡單推理能力．