Question

10．已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值；
（2）若函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）-a}{x}$在[1，e]上的最小值為$\frac{3}{2}$，求a的值；
（3）若k∈Z，且f（x）+x-k（x-1）＞0對(duì)任意x＞1恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，f′（x）≥0，求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，令f′（x）≤0，求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，由函數(shù)單調(diào)性可知最小值為f（$\frac{1}{e}$）；
（2）由F（x）=$\frac{f（x）-a}{x}$，求導(dǎo)，分類，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最小值，求得a的值；
（3）由題意可知$k＜\frac{xlnx+x}{x-1}$對(duì)任意x＞1恒成立．構(gòu)造輔助函數(shù)$h（x）=\frac{xlnx+x}{x-1}$，求導(dǎo)，令φ（x）=x-lnx-2（x＞1），根據(jù)函數(shù)單調(diào)性方程φ（x）=0在（1，+∞）上存在唯一的實(shí)根x₀，求得h（x）單調(diào)性，求得h（x）的最小值，即k＜g（x）_min=x₀，即可求得k的最大值．

解答 解：（1）求導(dǎo)f′（x）=lnx+1（x＞0），
令f′（x）≥0，即lnx≥-1=lne^-1，解得：$x≥\frac{1}{e}$，
同理，令f′（x）≤0，可得$x∈（0，\frac{1}{e}]$，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[\frac{1}{e}，+∞）$，單調(diào)減區(qū)間為$（0，\frac{1}{e}]$，
最小值為f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$•（-1）=-$\frac{1}{e}$；
（2）$F（x）=lnx-\frac{a}{x}$，求導(dǎo)${F^'}（x）=\frac{x+a}{x^2}$，
Ⅰ．當(dāng)a≥0時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，$F{（x）_{min}}=F（1）=-a=\frac{3}{2}$，
所以$a=-\frac{3}{2}∉[0，+∞）$，舍去．
Ⅱ．當(dāng)a＜0時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，-a）上單調(diào)遞減，在（-a，+∞）上單調(diào)遞增，
①若a∈（-1，0），F(xiàn)（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，$F{（x）_{min}}=F（1）=-a=\frac{3}{2}$，
所以$a=-\frac{3}{2}∉[0，+∞）$，舍去，
②若a∈[-e，-1]，F(xiàn)（x）在[1，-a]上單調(diào)遞減，在[-a，e]上單調(diào)遞增，
所以$F{（x）_{min}}=F（1）=ln（-a）+a=\frac{3}{2}$，解得$a=-\sqrt{e}∈[-e，-1]$．
③若a∈（-∞，-e），F(xiàn)（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，$F{（x）_{min}}=F（e）=1-\frac{a}{e}=\frac{3}{2}$，
所以$a=-\frac{e}{2}∉（-∞，-e）$，舍去，
綜上所述，$a=-\sqrt{e}$．
（3）由題意得：k（x-1）＜x+xlnx對(duì)任意x＞1恒成立，即$k＜\frac{xlnx+x}{x-1}$對(duì)任意x＞1恒成立．
令$h（x）=\frac{xlnx+x}{x-1}$，則${h^'}（x）=\frac{x-lnx-2}{{{{（x-1）}^2}}}$，令φ（x）=x-lnx-2（x＞1），則${φ^'}（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}＞0$，
∴函數(shù)φ（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∵方程φ（x）=0在（1，+∞）上存在唯一的實(shí)根x₀，且x₀∈（3，4），
當(dāng)1＜x＜x₀時(shí)，φ（x）＜0，即h′（x）＜0，
當(dāng)x＞x₀時(shí)，φ（x）＞0，即h′（x）＞0．
∴函數(shù)h（x）在（1，x₀）上遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增．
∴$h{（x）_{min}}=h（{x_0}）=\frac{{{x_0}（1+ln{x_0}）}}{{{x_0}-1}}=\frac{{{x_0}（1+{x_0}-2）}}{{{x_0}-1}}={x_0}∈（3，4）$，
∴k＜g（x）_min=x₀，
又∵x₀∈（3，4），
故整數(shù)k的最大值為3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及最值，考查構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性及和最值，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想，綜合性強(qiáng)，屬于難題．