Question

13．（1）求過點A（-2，-4）且和x+3y-26=0相切于（8，6）的圓的標準方程；
（2）圓心在5x-3y+8=0上，且圓與坐標軸相切，求此圓的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知中圓經(jīng)過點A（-2，-4），且與直線l：x+3y-26=0相切于（8，6），我們可以設(shè)出圓的方程，然后將兩點坐標代入結(jié)合圓心到直線l的距離等于半徑，構(gòu)造方程組，解方程組即可求出圓的方程．
（2）與坐標軸相切，所以圓心到兩個坐標軸距離相等，結(jié)合圓心在5x-3y-8=0上，求出圓心坐標，可得圓的半徑，從而可得圓的標準方程．

解答 解：（1）設(shè)圓為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
連接切點與圓心的直線和半徑垂直得，$\frac{6+\frac{E}{2}}{8+\frac{D}{2}}$=3即3D-E+36=0
依題意有方程組$\left\{\begin{array}{l}{3D-E=-36}\\{2D+4E-F=20}\\{8D+6E+F=-100}\end{array}\right.$
∴D=-11，E=3，F(xiàn)=-30．
∴圓的方程為x²+y²-11x+3y-30=0．
（2）與坐標軸相切，所以圓心到兩個坐標軸距離相等，所以x=y或x=-y
又圓心在5x-3y+8=0上
若x=y，則x=y=-4；若x=-y，則x=-1，y=1
所以圓心是（-4，-4）或（-1，1）
因為半徑就是圓心到切線距離，即到坐標軸距離
所以圓心是（-4，-4），則r=4；圓心是（-1，1），則r=1
所以所求圓的標準方程為（x+4）²+（y+4）²=16和（x+1）²+（y-1）²=1．

點評 本題考查的知識點是直線與圓的位置關(guān)系，圓的標準方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，其中根據(jù)圓過已知的兩個點，及與直線相切，構(gòu)造方程組是解答本題的關(guān)鍵．