Question

已知橢圓

x2

2t2

+

y2

t2

=1，圓C：x²+（y-2t）²=t²（t＞0），過橢圓右焦點F₂作圓C切線，切點為A，B
（1）當(dāng)t=1時，求切線方程
（2）無論t怎樣變化，求證切點A，B分別在兩條相交的定直線上，并求這兩條定直線的方程．

Answer 1

分析：（1）求出F₂（1，0）當(dāng)切線斜率存在時設(shè)為k即切線方程為：y=k（x-1）再由圓心（0，2）到圓心的距離為1即可求出k．當(dāng)斜率不存在時可直接寫出切線方程x=1．
（2）由（1）知可求出切線方程為y=-

3

4

(x-t)與x=t再與圓x²+（y-2）²=1聯(lián)立求得B（-

3

5

t，-

6

5

t）A（t，2t）然而，k_oA=2k_OB=-2故切點A，B分別在兩條相交的定直線上的直線方程為y=-2x，y=2x．

解答：解：當(dāng)t=1橢圓為：

x2

2

+y2=1圓C為：x²+（y-2）²=1
∵a²=1，b²=1
∴c²=1
∴F₂（1，0）
當(dāng)過F₂與圓相切的切線斜率存在時設(shè)為k則切線方程為y=k（x-1）故

|2+k|

k2+1

=1
∴k=-

3

4

∴y=-

3

4

(x-1)即3x+4y-3=0
當(dāng)過F₂與圓相切的切線斜率不存在時則切線方程為x=1
綜上當(dāng)t=1時切線方程為3x+4y-3=0，x=1
（2）∵a²=2t²，b²=t²
∴c²=t²
∴F₂（t，0）（t＞0）
由（1）知切線斜率存在時設(shè)為k則切線方程為y=k（x-t）
∴

|2t+kt|

k2+1

=1
∴k=-

3

4

∴切線為y=-

3

4

(x-t)與圓x²+（y-2）²=1聯(lián)立求得B（-

3

5

t，

6

5

t）
當(dāng)切線斜率不存在時切線為x=t則且點A（t，2t）
k_oA=2k_OB=-2
∴L_OA：y=-2xL_OB=2X
∴A，B分別在y=-2x，y=2x上且y=-2x，y=2x相交與點（0，0）

點評：此題主要考查了利用橢圓與圓的有關(guān)知識求圓的切線．第一問t=1而第二問t不定而對于此類問題常采用把切線的方程設(shè)出來在根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求出斜率，但要注意的是要分斜率存在與否進(jìn)行討論．第二問關(guān)鍵是要發(fā)現(xiàn)k_oA=2k_OB=-2這一隱含結(jié)論！故切點A，B分別在兩條相交的定直故切點A，B分別在兩條相交的定直線上的直線方程為y=-2x，y=2x．