在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
2
2
,左焦點為F,過原點的直線l交橢圓于M,N兩點,△FMN面積的最大值為1.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)P,A,B是橢圓E上異于頂點的三點,Q(m,n)是單位圓x2+y2=1上任一點,使
OP
=m
OA
+n
OB

①求證:直線OA與OB的斜率之積為定值;
②求OA2+OB2的值.
分析:(1)由△FMN面積S=
1
2
×c×|yM-yN|=c|yM|≤cb
,可得cb=1,再有離心率公式e=
c
a
=
2
2
及a2=b2+c2即可得到a,b,c;
(2)①設(shè)P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),把點A,B代入橢圓方程可得
x
2
1
2
+
y
2
1
=1
③,
x
2
2
2
+
y
2
2
=1
④,又Q(m,n)是單位圓x2+y2=1上任一點可得m2+n2=1⑤,
OP
=m
OA
+n
OB
,得到
x=mx1+nx2
y=my1+ny2.
因P在橢圓上,故
(mx1+nx2)2
2
+(my1+ny2)2=1
. 把③④⑤代入上式即可得出x1,y1,x2,y2,滿足的式子即可證明結(jié)論;
②利用①的結(jié)論kOAkOB=
y1y2
x1x2
=-
1
2
為定值.可得故
y
2
1
+
y
2
2
=1
. 及  又(
x
2
1
2
+
y
2
1
)+(
x
2
2
2
+
y
2
2
)=2
,可得
x
2
1
+
x
2
2
=2
.故可證明OA2+OB2=
x
2
1
+
y
2
1
+
x
2
2
+
y
2
2
為定值.
解答:解:(1)由橢圓的離心率為
2
2
,得
c
a
=
2
2
①,
又△FMN面積S=
1
2
×c×|yM-yN|=c|yM|≤cb
,所以cb=1②,
由①②及a2=b2+c2可解得:a2=2,b2=c2=1,
故橢圓E的方程是
x2
2
+y2=1
. 
(2)①設(shè)P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),
x
2
1
2
+
y
2
1
=1
③,
x
2
2
2
+
y
2
2
=1
④,
又m2+n2=1⑤,
OP
=m
OA
+n
OB
,故
x=mx1+nx2
y=my1+ny2.

因P在橢圓上,故
(mx1+nx2)2
2
+(my1+ny2)2=1
.      
整理得(
x
2
1
2
+
y
2
1
)m2+(
x
2
2
2
+
y
2
2
)n2+2(
x1x2
2
+y1y2)mn=1

將③④⑤代入上式,并注意點Q(m,n)的任意性,得:
x1x2
2
+y1y2=0

所以,kOAkOB=
y1y2
x1x2
=-
1
2
為定值.
(y1y2)2=(-
x1x2
2
)2=
x
2
1
2
x
2
2
2
=(1-
y
2
1
)(1-
y
2
2
)=1-(
y
2
1
+
y
2
2
)+
y
2
1
y
2
2
,
y
2
1
+
y
2
2
=1
.                 
(
x
2
1
2
+
y
2
1
)+(
x
2
2
2
+
y
2
2
)=2
,故
x
2
1
+
x
2
2
=2
.所以O(shè)A2+OB2=
x
2
1
+
y
2
1
+
x
2
2
+
y
2
2
=3.
點評:本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、向量運算、斜率的計算公式、三角形的面積計算公式等基礎(chǔ)知識,需要較強運算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力,考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知圓心在直線y=x+4上,半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點O,橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a>0)
與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10.
(1)求圓C的方程;
(2)若F為橢圓的右焦點,點P在圓C上,且滿足PF=4,求點P的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A,B兩點.若點A的橫坐標(biāo)是
3
5
,點B的縱坐標(biāo)是
12
13
,則sin(α+β)的值是
16
65
16
65

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若焦點在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1
的離心率為
1
2
,則m的值為
4
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•泰州三模)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A(0,1),B(0,-1),C(t,0),D(
3t
,0)
,其中t≠0.設(shè)直線AC與BD的交點為P,求動點P的軌跡的參數(shù)方程(以t為參數(shù))及普通方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•東莞一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦點為F1(-1,0),且橢圓C的離心率e=
1
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的上下頂點分別為A1,A2,Q是橢圓C上異于A1,A2的任一點,直線QA1,QA2分別交x軸于點S,T,證明:|OS|•|OT|為定值,并求出該定值;
(3)在橢圓C上,是否存在點M(m,n),使得直線l:mx+ny=2與圓O:x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點A、B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點M的坐標(biāo)及對應(yīng)的△OAB的面積;若不存在,請說明理由.

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同步練習(xí)冊答案