Question

(08年海淀區(qū)期中練習(xí)文)（14分）

已知橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，它的短軸長(zhǎng)為，右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線(xiàn)與軸相交于點(diǎn)， ，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)， 點(diǎn)和點(diǎn)在上，且軸.

          (I) 求橢圓的方程及離心率；

          (II)當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)的方程；

    （III）求證：直線(xiàn)經(jīng)過(guò)線(xiàn)段的中點(diǎn).

Answer 1

解析：（I）設(shè)橢圓方程為：

由得 .                                                 1分

又，

解得.

∴橢圓方程為：.                                                 3分

離心率.                                                          4分

（II）由（I）知點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），又直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)的斜率為,

則的方程為.                                            5分

由得   （*）                 6分

設(shè)，則是（*）方程兩根，且，

∴. 

∵軸，且，

∴即，解得.

∴直線(xiàn)的方程為或.                          8分

（III）∵點(diǎn)，∴中點(diǎn)的坐標(biāo)為.

     ① 當(dāng)軸時(shí)，，

那么此時(shí)的中點(diǎn)為，即經(jīng)過(guò)線(xiàn)段的中點(diǎn).               9分

②     當(dāng)不垂直軸時(shí)，則直線(xiàn)斜率存在,

設(shè)直線(xiàn)的方程為,                                       10分

由（*）式得.

又∵得

故直線(xiàn)的斜率分別為

.

又,

.

∴即.

且有公共點(diǎn)，∴ 三點(diǎn)共線(xiàn).

∴直線(xiàn)經(jīng)過(guò)線(xiàn)段的中點(diǎn).                                     14分

綜上所述，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)線(xiàn)段的中點(diǎn).

說(shuō)明：其他正確解法按相應(yīng)步驟給分.