Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sin2ωx，cos2ωx）（ω＞0），$\overrightarrow$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{2π}{3}$]上的最值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)向量的數(shù)量積得出f（x）的解析式并化簡(jiǎn)，利用函數(shù)的周期公式得出ω的值；
（II）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性列出不等式解出；
（III）根據(jù)x的范圍得出2x-$\frac{π}{6}$的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得出f（x）的最值．

解答 解：（I）f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）．
∵f（x）的最小正周期為π，
∴$\frac{2π}{2ω}=π$，∴ω=1．
（II）f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
令$\frac{π}{2}+2kπ≤$2x-$\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，解得$\frac{π}{3}+kπ$≤x≤$\frac{5π}{6}+kπ$．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[$\frac{π}{3}+kπ$，$\frac{5π}{6}+kπ$]，k∈Z．
（III）∵x∈[0，$\frac{2π}{3}$]，∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$或$\frac{7π}{6}$時(shí)，f（x）取得最小值-$\frac{1}{2}$，
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）取得最大值1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積，三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．