Question

（不等式選講選做題） 已知a，b，c∈R，且a+b+c=2，a²+2b²+3c²=4，則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：由4-a2=(2b2+3c2)×1=

6

5

(2b2+3c2)(

1

2

+

1

3

)≥(b+c)2•

6

5

=(a-2)2•

6

5

．得到關于a的不等關系：20-5a²≥6（a²-4a+4）解之即得a的取值范圍．

解答：解：由4-a2=(2b2+3c2)×1=

6

5

(2b2+3c2)(

1

2

+

1

3

)
≥(b+c)2•

6

5

=(a-2)2•

6

5

．
∴20-5a²≥6（a²-4a+4）
∴11a²-24a+4≤0，
∴

2

11

≤a≤2．
則a的取值范圍為[

2

11

，2]．
故答案為：[

2

11

，2]．

點評：此題主要考查不等式的證明問題，其中涉及到柯西不等式和基本不等式的應用問題，有一定的技巧性，需要同學們對一般形式的柯西不等式非常熟練．