Question

14．設(shè)A₁，A₂，A₃，A₄，A₅是空間中給定的5個不同的點，則使$\sum_{k=1}^5{\overrightarrow{M{A_k}}}=\overrightarrow 0$成立的點M的個數(shù)有1個．

Answer 1

分析 分別設(shè)出A₁、A₂、A₃、A₄、A₅和M各點的坐標(biāo)，得到向量$\overrightarrow{{MA}_{k}}$（k=1，2，3，4，5）的坐標(biāo)，
根據(jù)加法的坐標(biāo)運算代入題中的向量等式$\underset{\stackrel{5}{∑}}{k=1}$$\overrightarrow{{MA}_{k}}$=0，化簡整理可得點M的坐標(biāo)是唯一的．

解答 解：設(shè)A₁（x₁，y₁，z₁），A₂（x₂，y₂，z₂），A₃（x₃，y₃，z₃），
A₄（x₄，y₄，z₄），A₅（x₅，y₅，z₅）；
再設(shè)M（a，b，c），則可得$\overrightarrow{{MA}_{1}}$=（x₁-a，y₁-b，z₁-c），
$\overrightarrow{{MA}_{2}}$=（x₂-a，y₂-b，z₂-c），
$\overrightarrow{{MA}_{3}}$=（x₃-a，y₃-b，z₃-c），
$\overrightarrow{{MA}_{4}}$=（x₄-a，y₄-b，z₄-c），
$\overrightarrow{{MA}_{5}}$=（x₅-a，y₅-b，z₅-c），
∵$\underset{\stackrel{5}{∑}}{k=1}$$\overrightarrow{{MA}_{k}}$=$\overrightarrow{0}$成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{+x}_{2}{+x}_{3}{+x}_{4}{+x}_{5}-5a=0}\\{{y}_{1}{+y}_{2}{+y}_{3}{+y}_{4}{+y}_{5}-5b=0}\\{{z}_{1}{+z}_{2}{+z}_{3}{+z}_{4}{+z}_{5}-5c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{5}{（x}_{1}{+x}_{2}{+x}_{3}{+x}_{4}{+x}_{5}）}\\{b=\frac{1}{5}{（y}_{1}{+y}_{2}{+y}_{3}{+y}_{4}{+y}_{5}）}\\{c=\frac{1}{5}{（z}_{1}{+z}_{2}{+z}_{3}{+z}_{4}{+z}_{5}）}\end{array}\right.$，
因此，存在唯一的點M，使$\underset{\stackrel{5}{∑}}{k=1}$$\overrightarrow{{MA}_{k}}$=$\overrightarrow{0}$成立．
故答案為：1．

點評 本題給出空間5個點，探索這5個點與點M構(gòu)成的向量和為零向量的點的個數(shù)問題，著重考查了向量的線性運算及其幾何意義的知識，是基礎(chǔ)題目．