Question

【題目】在平面直角坐標系中．以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系已知曲線C：pcos2θ=2asinθ（a＞0）過點P（﹣4，﹣2）的直線l的參數方程為 （t為參數）直線l與曲線C分別交于點M，N．
（1）寫出C的直角坐標方程和l的普通方程；
（2）若丨PM丨，丨MN丨，丨PN丨成等比數列，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲線C的直角坐標方程為x=2ay（a＞0），

直線l的普通方程為x﹣y+2=0．

（2）將直線l的參數方程與C的直角坐標方程聯立，得t2﹣2 （4+a）t+8（4+a）=0．

由△=8a（4+a）＞0，

可設點M，N對應的參數分別為t1，t2，且t1，t2是方程（*）的根，

則丨PM丨=丨t1丨，丨PN丨=丨t2丨，丨MN丨=丨t1﹣t2丨．

由題設得（t1﹣t2）2=丨t1t2丨，即（t1﹣t2）2﹣4t1t2=丨t1t2丨．

由（*）得t1+t2=2 （4+a），t1t2=8（4+a）＞0，

則有（4+a）2﹣5（4+a）=0，解得a=1或a=﹣4．

因為a＞0，則a=1．

【解析】（1）對于曲線C的極坐標方程，兩邊同時乘以ρ，再化為平面直角坐標方程，通過加減消參可得出直線的直角坐標方程；（2）將直線l的參數方程代入C的直角坐標方程，根據t的幾何意義，表示出PM，PN、MN，結合韋達定理可解出a的值.