Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點D是BC的中點．

（1）求證：A1B∥平面ADC1；
（2）若AB⊥AC，AB=AC=1，AA1=2，求平面ADC1與ABA1所成二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接A1C，交AC1于點E，

則點E是A1C及AC1的中點．

連接DE，則DE∥A1B．

因為DE平面ADC1，

所以A1B∥平面ADC1．

（2）解：建立如圖所示空間直角坐標系A(chǔ)﹣xyz．

則A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），

C1（0，1，2）D（ ， ，0），

=（ ， ，0）， =（0，1，2）．

設(shè)平面ADC1的法向量 =（x，y，z），

則 ，不妨取 =（2，﹣2，1）．

平面ABA1的一個法向量 = =（0，1，0）．

|cos＜ ， ＞|=| |= ，

設(shè)平面ADC1與ABA1所成二面角的平面角為θ，

sinθ= = ．

∴平面ADC1與ABA1所成二面角的正弦值是 ．

【解析】（1）連接A1C，交AC1于點E，連接DE，則DE∥A1B，由此能證明A1B∥平面ADC1 ． （2）建立空間直角坐標系A(chǔ)﹣xyz．利用向量法能求出平面ADC1與ABA1所成二面角的正弦值．