【題目】對(duì)于n∈N* , 若數(shù)列{xn}滿足xn+1﹣xn>1,則稱這個(gè)數(shù)列為“K數(shù)列”.
(Ⅰ)已知數(shù)列:1,m+1,m2是“K數(shù)列”,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(Ⅱ)是否存在首項(xiàng)為﹣1的等差數(shù)列{an}為“K數(shù)列”,且其前n項(xiàng)和Sn滿足 ?若存在,求出{an}的通項(xiàng)公式;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(Ⅲ)已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列{an}是“K數(shù)列”,數(shù)列 不是“K數(shù)列”,若 ,試判斷數(shù)列{bn}是否為“K數(shù)列”,并說明理由.

【答案】解:(Ⅰ)由題意得(m+1)﹣1>1,①m2﹣(m+1)>1,②
解①得 m>1;
解②得 m<﹣1或m>2.
所以m>2,故實(shí)數(shù)m的取值范圍是m>2.
(Ⅱ)假設(shè)存在等差數(shù)列{an}符合要求,設(shè)公差為d,則d>1,
由 a1=﹣1,得 ,.
由題意,得 對(duì)n∈N*均成立,
即(n﹣1)d<n.
①當(dāng)n=1時(shí),d∈R;
②當(dāng)n>1時(shí), ,
因?yàn)?
所以d≤1,與d>1矛盾,
故這樣的等差數(shù)列{an}不存在.
(Ⅲ)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,則 ,
因?yàn)閧an}的每一項(xiàng)均為正整數(shù),且an+1﹣an=anq﹣an=an(q﹣1)>1>0,
所以a1>0,且q>1.
因?yàn)閍n+1﹣an=q(an﹣an1)>an﹣an1 ,
所以在{an﹣an1}中,“a2﹣a1”為最小項(xiàng).
同理,在 中,“ ”為最小項(xiàng).
由{an}為“K數(shù)列”,只需a2﹣a1>1,即 a1(q﹣1)>1,
又因?yàn)? 不是“K數(shù)列”,且“ ”為最小項(xiàng),所以 ,即 a1(q﹣1)≤2,
由數(shù)列{an}的每一項(xiàng)均為正整數(shù),可得 a1(q﹣1)=2,
所以a1=1,q=3或a1=2,q=2.
①當(dāng)a1=1,q=3時(shí), ,則 ,
,則
= ,
所以{cn}為遞增數(shù)列,即 cn>cn1>cn2>…>c1 ,
所以bn+1﹣bn>bn﹣bn1>bn1﹣bn2>…>b2﹣b1
因?yàn)?
所以對(duì)任意的n∈N* , 都有bn+1﹣bn>1,
即數(shù)列{cn}為“K數(shù)列”.
②當(dāng)a1=2,q=2時(shí), ,則 .因?yàn)?
所以數(shù)列{bn}不是“K數(shù)列”.
綜上:當(dāng) 時(shí),數(shù)列{bn}為“K數(shù)列”,
當(dāng) 時(shí),數(shù)列{bn}不是“K數(shù)列”
【解析】(Ⅰ)由題意得(m+1)﹣1>1,m2﹣(m+1)>1,聯(lián)立解出即可得出.(Ⅱ)假設(shè)存在等差數(shù)列{an}符合要求,設(shè)公差為d,則d>1,由題意,得 對(duì)n∈N*均成立,化為(n﹣1)d<n.對(duì)n分類討論解出即可得出.(Ⅲ)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,則 ,由題意可得:{an}的每一項(xiàng)均為正整數(shù),且an+1﹣an=anq﹣an=an(q﹣1)>1>0,可得a1>0,且q>1.由an+1﹣an=q(an﹣an1)>an﹣an1 , 可得在{an﹣an1}中,“a2﹣a1”為最小項(xiàng).同理,在 中,“ ”為最小項(xiàng).再利用“K數(shù)列”,可得a1=1,q=3或a1=2,q=2.進(jìn)而得出.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱,求函數(shù)的對(duì)稱軸.

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日期

4月1日

4月7日

4月15日

4月21日

4月30日

溫差x/℃

10

11

13

12

8

發(fā)芽數(shù)y/顆

23

25

30

26

16

(1)從這5天中任選2天,記發(fā)芽的種子數(shù)分別為,求事件“均不小于25”的概率;

(2) 若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與4月份所選5天的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的. 請(qǐng)根據(jù)4月7,4月15日與4月21日這三天的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程,并判定所得的線性回歸方程是否可靠?

參考公式: ,

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.

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(2)若,求證:數(shù)列為等差數(shù)列;

(3)在(2)的條件下,求.

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