Question

4．若直線l：y=$\frac{\sqrt{3}x}{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一個焦點，且與雙曲線的一條漸近線平行．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若過點B（0，b）且與x軸不平行的直線和雙曲線相交于不同的兩點M，N，MN的垂直平分線為m，求直線m與y軸上的截距的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得直線l與x軸的交點，可得c=2，再由兩直線平行的條件：斜率相等，可得漸近線方程，解方程可得a，b，進而得到雙曲線的方程；
（2）設直線y=kx+1（k≠0），代入$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1可得，（1-3k²）x²-6kx-6=0，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），運用韋達定理和判別式大于0，以及中點坐標公式及兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，求得MN的垂直平分線方程，令x=0，可得直線在y軸上的截距，由不等式的性質可得范圍．

解答 解：（1）直線l：y=$\frac{\sqrt{3}x}{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$過x軸上一點（2，0），
由題意可得c=2，即a²+b²=4，
雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由兩直線平行的條件可得$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得a=$\sqrt{3}$，b=1，
即有雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1；
（2）設直線y=kx+1（k≠0），
代入$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1可得，（1-3k²）x²-6kx-6=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
x₁+x₂=$\frac{6k}{1-3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{6}{3{k}^{2}-1}$，
MN中點為（$\frac{3k}{1-3{k}^{2}}$，$\frac{1}{1-3{k}^{2}}$），
可得MN的垂直平分線方程為y-$\frac{1}{1-3{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{3k}{1-3{k}^{2}}$），
令x=0，可得y=$\frac{4}{1-3{k}^{2}}$，
由△=36k²+24（1-3k²）＞0，解得3k²＜2，
又$\frac{6}{3{k}^{2}-1}$＜0，解得3k²＜1，
綜上可得，0＜3k²＜1，
即有$\frac{4}{1-3{k}^{2}}$的范圍是（4，+∞），
可得直線m與y軸上的截距的取值范圍為（4，+∞）．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用直線與x軸的交點和兩直線平行的條件，考查直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，運用韋達定理和中點坐標公式，以及兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．