如圖，已知圓O′過定點A(0，p)(p＞0),圓心O′在拋物線x2=2py上運(yùn)動，MN為圓在x軸上截得的弦，令|AM|=d1,|AN|=d2,∠MAN=θ.

(1)當(dāng)O′點運(yùn)動時，|MN|是否有變化？證明你的結(jié)論.

(2)求+的最大值，并求取得最大值時的θ值.

解：(1)當(dāng)O′點運(yùn)動時，|MN|為一定值.

    設(shè)O′(x0,y0)，則x20=2py0(y0≥0),

    取線段MN中點B，則有O′B⊥MN,所以有：

|M′N|=2|MB|=

=

=

==2p.

(2)在△AMN中運(yùn)用余弦定理，得

|MN|2=|AM|2+|AN|2-2|AM||AN|cosθd21+d22-2d1d2cosθ=4p2，  ①

    再由三角形的面積公式，在△AMN中可得：

|AM||AN|sinθ=|MN||AO|d1d2sinθ=2p2.                                   ②

    由①、②可得：

+==

=2sinθ+2cosθ=2sin(θ+)≤2,

    當(dāng)sin(θ+)=1時，+取最大值2,

    又0＜θ＜π,

    所以取最大值時θ=.


練習(xí)冊系列答案
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如圖，已知圓O的直徑AB=4，定直線L到圓心的距離為4，且直線L垂直直線AB．點P是圓O上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別交L與M、N點．
（Ⅰ）若∠PAB=30°，求以MN為直徑的圓方程；
（Ⅱ）當(dāng)點P變化時，求證：以MN為直徑的圓必過圓O內(nèi)的一定點．

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如圖，已知圓O的直徑AB=4，定直線L到圓心的距離為4，且直線L⊥直線AB。點P是圓O上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別交L與M、N點。

試建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，解決下列問題：

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（本題12分）

如圖，已知圓O的直徑AB=4，定直線L到圓心的距離為4，且直線L垂直直線AB。點P是圓O上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別交L與M、N點。

（Ⅰ）若∠PAB=30°，求以MN為直徑的圓方程；

（Ⅱ）當(dāng)點P變化時，求證：以MN為直徑的圓必過圓O內(nèi)的一定點。

 

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如圖，已知圓O的直徑AB＝4，定直線L到圓心的距離為4，且直線L垂直于直線AB.點P是圓O上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別交L于M、N點.

(1)若∠PAB＝30°，求以MN為直徑的圓的方程；

(2)當(dāng)點P變化時，求證：以MN為直徑的圓必過AB上一定點.

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