Question

f(x)=2sin(ωx-

π

3

)cosωx+2cos(2ωx+

π

6

)，其中ω＞0．
（1）若ω=2，求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）滿足f（π+x）=f（π-x）（x∈R），且ω∈(

1

2

，1)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和與差的三角函數(shù)公式展開，結(jié)合二倍角的三角函數(shù)公式和輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，得f（x）=cos(2ωx+

π

6

)-

3

2

．因?yàn)棣?2，所以f（x）=cos(4x+

π

6

)-

3

2

，利用三角函數(shù)的周期公式即可算出函數(shù)f（x）的最小正周期．
（2）因?yàn)閒（π+x）=f（π-x）對(duì)x∈R成立，所以直線x=π是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸．根據(jù)余弦函數(shù)圖象對(duì)稱軸方程的公式列式，算出

ω= k 2 - 1 12 ，(k∈Z)

，結(jié)合ω∈(

1

2

，1)可得ω=

11

12

，從而得到f(x)=cos(

11

6

x+

π

6

)-

3

2

，最后利用余弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間的結(jié)論建立關(guān)于x的不等式，解之即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答：解：根據(jù)題意，得f(x)=2sin(ωx-

π

3

)cosωx+2cos(2ωx+

π

6

)

=(sinωx- 3 cosωx)cosωx+2(cos2ωxcos π 6 -sin2ωcos π 6 )

∵2sinωxcosωx=sin2ωx，cos²ωx=

1

2

（1+cos2ωx）
∴f（x）

= 1 2 sin2ωx- 3 cos2ωx+ 3 cos2ωx-sin2ωx

=- 1 2 sin2ωx- 3 × 1+cos2ωx 2 + 3 cos2ωx

= 3 2 cos2ωx- 1 2 sin2ωx- 3 2

=cos(2ωx+

π

6

)-

3

2

…（5分）
（1）若ω=2，則函數(shù)表達(dá)式為：f(x)=cos(4x+

π

6

)-

3

2

，
因此，f（x）的最小正周期T=

2π

4

=

π

2

…（7分）
（2）∵y=f（x）滿足f（π+x）=f（π-x）（x∈R）
∴直線x=π是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，可得cos(2ωx+

π

6

)=1或cos(2ωx+

π

6

)=-1，
因此，

2ωπ+ π 6 =kπ，(k∈Z)

．解之得

ω= k 2 - 1 12 ，(k∈Z)

又∵ω∈(

1

2

，1)，∴取整數(shù)k=2，得ω=

11

12

，
可得函數(shù)解析式為：f(x)=cos(

11

6

x+

π

6

)-

3

2

解不等式2kπ≤

11

6

x+

π

6

≤2kπ+π，(k∈Z)，得

12

11

kπ-

π

11

≤x≤

12

11

kπ+

5π

11

，(k∈Z)
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[

12

11

kπ-

π

11

，

12

11

kπ+

5π

11

]，(k∈Z)．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角函數(shù)表達(dá)式，求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間，著重考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．