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12.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知b+c=2acosB.
(1)證明:A=2B;
(2)若cosB=23,求cosC的值.

分析 (1)由b+c=2acosB,利用正弦定理可得:sinB+sinC=2sinAcosB,而sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,代入化簡(jiǎn)可得:sinB=sin(A-B),由A,B∈(0,π),可得0<A-B<π,即可證明.
(II)cosB=23,可得sinB=1cos2B.cosA=cos2B=2cos2B-1,sinA=1cos2A.利用cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB即可得出.

解答 (1)證明:∵b+c=2acosB,
∴sinB+sinC=2sinAcosB,
∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,
∴sinB=sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B),由A,B∈(0,π),
∴0<A-B<π,∴B=A-B,或B=π-(A-B),化為A=2B,或A=π(舍去).
∴A=2B.
(II)解:cosB=23,∴sinB=1cos2B=53
cosA=cos2B=2cos2B-1=19,sinA=1cos2A=459
∴cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=23×19+53×459=2227

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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