Question

對于△ABC內(nèi)的任何一點M，為了確定M的具體位置f（M），采用如下記法：f（M）=（x，y，z），x，y，z分別表示△MBC，△MCA，△MAB的面積，現(xiàn)有△ABC滿足•=且∠A=30°，設(shè)M是△ABC內(nèi)的一點（不在邊界上），當，那么的最小值為________．

Answer 1

18
分析：由向量的數(shù)量積公式得||•||•cos∠BAC=2 ，從而||||=4，再由題意得x+y的值，最后利用“1的代換”化簡，結(jié)合基本不等式求最值即可得答案．
解答：∵•=，∠BAC=30°，
所以由向量的數(shù)量積公式得||•||•cos∠BAC=2 ，
∴||||=4，
∵S_△ABC=||•||•sin∠BAC=1，
由題意得，x+y=1-=．
∴=2（ +）（x+y）=2（5++≥2（5+2 ）=18，
等號在x=，y=取到，所以最小值為18．
故答案為：18．
點評：本題考查基本不等式的應(yīng)用和向量的數(shù)量積，解題時要認真審題，注意公式的靈活運用，屬于中檔題．