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16.已知直線y=x+2交橢圓C:x2a2+y2=1(a>1)于A、B兩點.
(I)求橢圓C的離心率的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)M為C上區(qū)別于A、B的任意一點,且OMOAOB(O為坐標(biāo)原點),λ22=1,求a的值.

分析 (Ⅰ)將直線方程代入橢圓方程,利用判別式大于0,可得a的范圍,再由離心率公式,計算即可得到所求范圍;
(Ⅱ)運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算,確定坐標(biāo)之間的關(guān)系,利用M,A,B在橢圓上,結(jié)合韋達(dá)定理,化簡整理,可得a的方程,解方程可得a的值.

解答 解:(Ⅰ)將直線y=x+2代入橢圓C:x2a2+y2=1,可得
(1+a2)x2+4a2x+3a2=0,
由△=16a4-4(1+a2)(3a2)>0,
可得a>3或a<-3(舍去),
即有e=ca=a21a=11a2∈(63,1);
(Ⅱ)設(shè)M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),
OMOAOB,可得
x=λx1+μx2,y=λy1+μy2
又因為點M在橢圓C上,所以有(λx1+μx22+a2(λy1+μy22=a2,
整理可得:λ2(x12+a2y12)+μ2(x22+a2y22)+2λμ(x1x2+a2y1y2)=a2
即為(λ22)a2+2λμ(x1x2+a2y1y2)=a2
由λ22=1,可得x1x2+a2y1y2=0,
又x1+x2=-4a21+a2,x1x2=3a21+a2,
可得x1x2+a2y1y2=x1x2+a2(x1+2)(x2+2)=0,
即有(1+a2)x1x2+2a2(x1+x2)+4a2=0,
可得(1+a2)•3a21+a2+2a2(-4a21+a2)+4a2=0,
解得a=7

點評 本題考查橢圓的方程與性質(zhì),考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查向量知識的運(yùn)用,考查韋達(dá)定理,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.

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