分析 (Ⅰ)將直線方程代入橢圓方程,利用判別式大于0,可得a的范圍,再由離心率公式,計算即可得到所求范圍;
(Ⅱ)運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算,確定坐標(biāo)之間的關(guān)系,利用M,A,B在橢圓上,結(jié)合韋達(dá)定理,化簡整理,可得a的方程,解方程可得a的值.
解答 解:(Ⅰ)將直線y=x+2代入橢圓C:x2a2+y2=1,可得
(1+a2)x2+4a2x+3a2=0,
由△=16a4-4(1+a2)(3a2)>0,
可得a>√3或a<-√3(舍去),
即有e=ca=√a2−1a=√1−1a2∈(√63,1);
(Ⅱ)設(shè)M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),
由→OM=λ→OA+μ→OB,可得
x=λx1+μx2,y=λy1+μy2.
又因為點M在橢圓C上,所以有(λx1+μx2)2+a2(λy1+μy2)2=a2,
整理可得:λ2(x12+a2y12)+μ2(x22+a2y22)+2λμ(x1x2+a2y1y2)=a2.
即為(λ2+μ2)a2+2λμ(x1x2+a2y1y2)=a2.
由λ2+μ2=1,可得x1x2+a2y1y2=0,
又x1+x2=-4a21+a2,x1x2=3a21+a2,
可得x1x2+a2y1y2=x1x2+a2(x1+2)(x2+2)=0,
即有(1+a2)x1x2+2a2(x1+x2)+4a2=0,
可得(1+a2)•3a21+a2+2a2(-4a21+a2)+4a2=0,
解得a=√7.
點評 本題考查橢圓的方程與性質(zhì),考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查向量知識的運(yùn)用,考查韋達(dá)定理,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.
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編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
x | 169 | 178 | 166 | 175 | 180 |
y | 75 | 80 | 77 | 70 | 81 |
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