已知拋物線y2=2
3
x，過其對稱軸上一點(diǎn)P(2
3
，0)作一直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若∠OBA=60°，求OB的斜率．
分析：先設(shè)直線AB的方程和A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后聯(lián)立直線AB和拋物線消去x得到y(tǒng)的二次方程，進(jìn)而可表示出兩根之和，再結(jié)合直線AB方程可得到其橫坐標(biāo)之積的值，進(jìn)而可得到OA⊥OB，最后根據(jù)∠OBA=60°可求出B點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值，然后根據(jù)橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系得到OB的斜率．
解答：解：設(shè)直線AB方程為ty=x-2
3
，
A（x1，y1），B（x2，y2），
則由
y2=2
3
x
ty=x-2
3
，得y2-2
3
ty-12=0，
則y1•y2=-12，x1•x2=12，
∴x1•x2+y1•y2=0，∴OA⊥OB，又∠OBA=60°，
∴OA=
3
OB，∴x12+y12=3（x22+y22），
∴
123
y24
+
122
y22
=
y24
4
+3y22，∴y22=4•
332
，
∴kOB=
y2
x2
=
2
3
y2
y22
=±3
1
6
．
點(diǎn)評：本題主要考查直線和拋物線的綜合問題．直線和圓錐曲線的綜合題是高考的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn)，要強(qiáng)化復(fù)習(xí)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=2x，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（
2
3
，0），則拋物線上距點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（　�。�
A、（0，0）
B、（0，1）
C、（1，0）
D、（-2，0）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=2x，定點(diǎn)A的坐標(biāo)為（
23
，0）．
（1）求拋物線上距點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離|PA|；
（2）設(shè)B（a，0），求拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)B的距離的最小值d．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，在第一象限中過拋物線上任意一點(diǎn)P的切線為l，過P點(diǎn)作平行于x軸的直線m，過焦點(diǎn)F作平行于l的直線交m于M，若|PM|=4，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為
(3，2
3
)
(3，2
3
)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•西城區(qū)一模）如圖，已知拋物線y2=x及兩點(diǎn)A1（0，y1）和A2（0，y2），其中y1＞y2＞0．過A1，A2分別作y軸的垂線，交拋物線于B1，B2兩點(diǎn)，直線B1B2與y軸交于點(diǎn)A3（0，y3），此時(shí)就稱A1，A2確定了A3．依此類推，可由A2，A3確定A4，…．記An（0，yn），n=1，2，3，…．
給出下列三個結(jié)論：
①數(shù)列{yn}是遞減數(shù)列；
②對?n∈N*，yn＞0；
③若y1=4，y2=3，則y5=
23
．
其中，所有正確結(jié)論的序號是
①②③
①②③
．

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