Question

設(shè)x，y滿足

2x-y-1≥0 4x-y-6≤0 2x+y+k≥0(k＜0)

若z=4x²+y²的最小值為25，則

k=-7

．

Answer 1

分析：根據(jù)已知條件實(shí)數(shù)x，y滿足，令u=2x，v=y，將已知的可行域，轉(zhuǎn)化為

u-v-1≥0 2u-v-6≤0 u+v+k≥0

，目標(biāo)函數(shù)變?yōu)閦=u²+v²，將4x²+y²的最小值轉(zhuǎn)化為可行域中的點(diǎn)到原點(diǎn)最小距離的平方，其實(shí)質(zhì)z就是圓半徑的平方，列出等式從而求出k值；

解答：解：∵設(shè)x，y滿足

2x-y-1≥0 4x-y-6≤0 2x+y+k≥0(k＜0)

，可以令u=2x，v=y，將可行域

2x-y-1≥0 4x-y-6≤0 2x+y+k≥0(k＜0)

，
轉(zhuǎn)化為

u-v-1≥0 2u-v-6≤0 u+v+k≥0

，目標(biāo)函數(shù)z=u²+v²，畫出可行域：

可得B（

1-k

2

，

-k-1

2

）
∵z=4x²+y²=u²+v²，的最小值為25，也即點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離的平方等于25，
∴(

1-k

2

)2+(

-k-1

2

)2=25，解得k=±7，∵k＜0，
∴k=-7，
故答案為k=-7；

點(diǎn)評：本題只是直接考查線性規(guī)劃問題，跟以前做的不一樣需要換元轉(zhuǎn)化，因?yàn)閦=4x²+y²不是標(biāo)準(zhǔn)的圓，我們要轉(zhuǎn)化為可行域中的點(diǎn)到圓心的距離，近年來高考線性規(guī)劃問題高考數(shù)學(xué)考試的熱點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)思想的重要手段之一．