Question

如圖α-l-β是120°的二面角，A、B兩點(diǎn)在棱l上，AB=2，D在α內(nèi)，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在β內(nèi)，三角形ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°．
（1）求三棱錐D-ABC的體積；?
（2）求二面角D-AC-B的大�。�?
（3）求異面直線AB、CD所成的角．

Answer 1

解：（1）過(guò)D向平面β作垂線，垂足為O，連接OA并延長(zhǎng)至E，
∵AB⊥AD，OA為DA在平面β內(nèi)的射影，
∴AB⊥OA，∴∠DAE為二面角α-l-β的平面角 （2分）
∴∠DAE=120°，∠DAO=60°，
∵AD=AB=2，∴Rt△ADO中，DO=ADsin60°=，
∵△ABC是等腰直角三角形，斜邊AB=2．
∴S_△ABC=×2×1=1，
又∵D到平面β的距離DO=，
∴V_D-_ABC=×S_△ABC×DO=．（4分）
（2）過(guò)O在β內(nèi)作OM⊥AC于M，連接DM，則AC⊥DM，
∴∠DMO為二面角D-AC-B的平面角，（6分）
在△DOA中，OA=2cos60°=1，且∠OAM=∠CAE=45°，
∴Rt△OAM中，OM=OAsin45°=，
∴Rt△ODM中，tan∠DMO==，
因此，∠DMO=arctan，即二面角D-AC-B的大小為arctan．（8分）
（3）在β內(nèi)過(guò)C作AB的平行線交AE于F，
∴∠DCF（或其補(bǔ)角）為異面直線AB、CD所成的角 （10分）
∵AB⊥AF，AB⊥AD，CF∥AB，
∴CF⊥DF，結(jié)合∠CAE=45°，得△ACF為等腰直角三角形，
又∵AF等于C到AB的距離，即為△ABC斜邊上的高，
∴AF=CF=AB=1，
∴DF²=AD²+AF²-2AD•AF•cos120°=7，得DF=
在Rt△DCF中，tan∠DCF=，得∠DCF=arctan，
即異面直線AB、CD所成的角為arctan．（12分）
分析：（1）過(guò)D作DO⊥β于點(diǎn)O，連接OA并延長(zhǎng)至E，可證出∠DAE為二面角α-l-β的平面角，得∠DAO=180°-120°=60°．Rt△ADO中，算出DO=，即為三棱錐D-ABC的高，最后算出△ABC的面積，再利用錐體體積公式即得三棱錐D-ABC體積；
（2）過(guò)O在β內(nèi)作OM⊥AC于M，連接DM，則AC⊥DM，得∠DMO為二面角D-AC-B的平面角．然后在Rt△ODM中，算出OM的長(zhǎng)．Rt△ODM中利用直角三角形中正切的定義，得tan∠DMO=，即得二面角D-AC-B的大小為arctan；
（3）在β內(nèi)過(guò)C作CE∥AB交AE于F，可得∠DCF（或其補(bǔ)角）為異面直線AB、CD所成的角．Rt△DCF中，算出CF、DF的長(zhǎng)，從而得到tan∠DCF=，即得異面直線AB、CD所成的角為arctan．
點(diǎn)評(píng)：本題給出120度的二面角和分別在兩個(gè)半平面的等腰直角三角形，求三棱錐的體積和異面直線所成角的大小，著重考查了二面角平面角的作法和異面直線所成角的求法等知識(shí)，考查了解三角形的知識(shí)，屬于中檔題．