精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

在數(shù)列 $數(shù)學(xué)公式$
（I）證明數(shù)列{a_n-n}是等比數(shù)列；
（II）設(shè) $數(shù)學(xué)公式$ S_n．

解：（I）由題設(shè)a_n+1=2a_n-n+1，可得a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），
又a₁-1=1，所以數(shù)列{a_n-n}首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列；
（II）由（I）可知a_n-n=2^n-1，于是數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2^n-1+n，
所以數(shù)列b_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
所以S_n= $\text{[math]}$ +[1 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ +3• $\text{[math]}$ +…+（n-1） $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ]，
設(shè)T_n=1 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ +3• $\text{[math]}$ +…+（n-1） $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ①
所以 $\text{[math]}$ T_n=1 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ +3• $\text{[math]}$ +…+（n-1） $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ②
①-②可得 $\text{[math]}$ T_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =1 $\text{[math]}$ ，
故T_n= $\text{[math]}$ ，故S_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（I）變形原條件可得a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），易確定等比關(guān)系；（II）由（I）可得{a_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得{b_n}的通項(xiàng)公式，由錯(cuò)位相減法易得答案．
點(diǎn)評：本題考查等比關(guān)系的確定和錯(cuò)位相減法求和，屬中檔題．

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在數(shù)列{a_n}中，a₁=4且對于任意的自然數(shù)n∈N⁺都有a_n+1=2（a_n-n+1）
（I）證明數(shù)列{a_n-2n}是等比數(shù)列．
（II）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且點(diǎn)（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=x+2的圖象上（n∈N^*）
（I）證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足bn=2an-1，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式S_n．

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