Question

2．已知定義在R上的奇函數f（x）滿足：當x≥0時，f（x）=x-sinx，若不等式f（-4t）＞f（2m+mt²）對任意實數t恒成立，則實數m的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-$\sqrt{2}$）
• B． （-$\sqrt{2}$，0）
• C． （-∞，0）∪（$\sqrt{2}$，+∞）
• D． （-∞，-$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 求函數的導數，判斷函數的單調性，利用函數單調性將不等式恒成立進行轉化，結合一元二次不等式恒成立的性質進行求解即可．

解答 解：∵定義在R上的奇函數f（x）滿足：當x≥0時，f（x）=x-sinx，
∴f（0）=0，且f′（x）=1-cosx≥0，即函數f（x）在[0，+∞）上為增函數，
∵f（x）是奇函數，∴函數f（x）在（-∞，0]上也是增函數，
即函數f（x）在（-∞，+∞）上為增函數，
則不等式f（-4t）＞f（2m+mt²）等價為-4t＞2m+mt²對任意實數t恒成立
即mt²+4t+2m＜0對任意實數t恒成立，
若m=0，則不等式等價為4t＜0，即t＜0，不滿足條件．，
若m≠0，則要使mt²+4t+2m＜0對任意實數t恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{△=16-8{m}^{2}＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{{m}^{2}＞2}\end{array}\right.$，得m＜-$\sqrt{2}$，
故選：A．

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，根據條件判斷函數的單調性，將不等式恒成立進行轉化是解決本題的關鍵．