Question

設(shè)函數(shù)．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線方程；
（2）討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=，f′（x）=，
∴f′（1）=，即切線的斜率k=，又f（1）=，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線方程為：y-=（x-1），即y=x．
（2）∵f（x）=，
∴f′（x）===-．
若a＞2，由f′（x）＞0得，2＜x＜a；由f′（x）＜0得x＜2或x＞a，
即當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（2，a），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，2），（a，+∞）；
同理可得，當(dāng)a=2時(shí)，f′（x）≤0，f（x）在R上單調(diào)遞減；
當(dāng)a＜2時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（a，2），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，a），（2，+∞）；
分析：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=，f′（x）=，于是可求f′（1）=，f（1）=，從而可求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線方程；
（2）由f（x）=，可求得f′（x）=-，通過對(duì)a與2的大小關(guān)系的討論，即可求得f（x）的單調(diào)區(qū)間．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，在（2）中求得f′（x）=-是關(guān)鍵，著重考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用與分類討論思想，屬于中檔題．