Question

（2011•洛陽(yáng)二模）已知函數(shù)f（x）=sin2x+acos2x的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是直線x=

π

6

，則函數(shù)g（x）=-asin2x-cos2x的單調(diào)遞增區(qū)間為（　　）

• A．[kπ-

  5π

  12

  ，kπ+

  π

  12

  ](k∈z)
• B．[2kπ-

  5π

  12

  ，kπ+

  π

  12

  ](k∈z)
• C．[kπ+

  π

  12

  ，kπ+

  7π

  12

  ](k∈z)
• D．[2kπ-

  π

  12

  ，kπ+

  7π

  12

  ](k∈z)

Answer 1

分析：根據(jù)三角函數(shù)的在圖象的對(duì)稱(chēng)軸處函數(shù)取得最值，解出a=

3

3

．由此得到g（x）=-

3

3

sin2x-cos2x，化簡(jiǎn)為g（x）=-

2 3

3

sin（2x+

π

3

），最后根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求法，解關(guān)于x的不等式，即可得到所求g（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=sin2x+acos2x的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是直線x=

π

6

，
∴當(dāng)x=

π

6

時(shí)，f（x）取得最值，即f（

π

6

）=sin

π

3

+acos

π

3

=

1+a2

或-

1+a2

即

1+a2

sin（θ+

π

3

）=

1+a2

或-

1+a2

（其中θ滿足tanθ=a）
因此，θ+

π

3

=

π

2

+kπ（k∈Z），得θ=

π

6

+kπ（k∈Z）
∴tanθ=tan（

π

6

+kπ）=

3

3

，得a=

3

3

函數(shù)g（x）=-

3

3

sin2x-cos2x=-

2 3

3

sin（2x+

π

3

）
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），解得

π

12

+kπ≤x≤

7π

12

+kπ（k∈Z）
∴函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

](k∈z)
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出已知三角函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，求另一個(gè)三角函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，著重考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．