Question

7．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=3n²+2n+1．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=a_n2ⁿ，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=3n²+2n+1知，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=6n-1，驗(yàn)證n=1時(shí)是否適合，即可求得{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）b_n=a_n2ⁿ，易求T₁=12，n＞1時(shí)，T_n=6×2+11×2²+17×2³+…+（6n-1）×2ⁿ，利用錯(cuò)位相減法可求得{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）∵S_n=3n²+2n+1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=3n²+2n+1-[3（n-1）²+2（n-1）+1]=6n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=6，不適合上式，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{6n-1，n≥2}\\{6，n=1}\end{array}\right.$…..（4分）
（2）∵b_n=a_n2ⁿ，
∴n=1時(shí)，T₁=b₁=a₁×2=12…..（5分）
n＞1時(shí)，T_n=6×2+11×2²+17×2³+…+（6n-1）×2ⁿ，①
2T_n=6×2²+11×2³+17×2⁴+…+（6n-7）×2ⁿ+（6n-1）2ⁿ⁺¹，②…（9分）
②-①得：T_n=-32-6（2³+2⁴+…+2ⁿ）+（6n-1）2ⁿ⁺¹
=16+（6n-7）×2ⁿ⁺¹．…..（11分）
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{12，n=1}\\{16+（6n-7）•{2}^{n+1}，n＞1}\end{array}\right.$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的求和，著重考查遞推關(guān)系的應(yīng)用、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法及錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔題．