Question

設(shè)函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=ax+

b

x

，它們的圖象在x軸上的公共點處有公切線，則當(dāng)x＞1時，f（x）與g（x）的大小關(guān)系是（　�。�

A．f（x）＞g（x）

B．f（x）＜g（x）

C．f（x）=g（x）

D．f（x）＞g（x）與g（x）的大小不確定

Answer 1

分析：f（x）與x軸的交點（1，0）在g（x）上，所以a+b=0，在此點有公切線，即此點導(dǎo)數(shù)相等，可求出a與b的值，令h（x）=f（x）-g（x），然后利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在（1，+∞）上的單調(diào)性，從而得到正確選項．

解答：解：f（x）與x軸的交點′（1，0）在g（x）上，
所以a+b=0，在此點有公切線，即此點導(dǎo)數(shù)相等，
f′（x）=

1

x

，g′（x）=a-

b

x2

，
以上兩式在x=1時相等，即1=a-b，
又因為a+b=0，
所以a=

1

2

，b=-

1

2

，
即g（x）=

x

2

-

1

2x

，f（x）=lnx，
定義域{x|x＞0}，
令h（x）=f（x）-g（x）=lnx-

x

2

+

1

2x

，
對x求導(dǎo)，得h′（x）=

1

x

-

1

2

-

1

2x2

=

2x-x2-1

2x2

=-

(x-1)2

2x2

∵x＞1
∴h′（x）≤0
∴h（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減，即h（x）＜0
∴f（x）＜g（x）
故選B．

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及函數(shù)的基本性質(zhì)，同時考查分析問題的能力，屬于中檔題．