(2012•浙江模擬)在△ABC中,內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c,已知函數(shù)f(x)=sin(2x-
π
6
)
滿足:對(duì)于任意x∈R,f(x)≤f(A))恒成立.
(1)求角A的大;
(2)若a=
3
,求BC邊上的中線AM長(zhǎng)的取值范圍.
分析:(1)由題意可得f(A)為函數(shù)f(x)的最大值,即sin(2A-
π
6
)
=1,由此求得角A 的值.
(2)利用余弦定理可得AM2=-
b2+c2
2
+
3
4
,3=b2+c2-bc,從而得到 3<b2+c2≤6,由此求得BC邊上的中線AM長(zhǎng)的
取值范圍.
解答:解:(1)由題意可得f(A)為函數(shù)f(x)的最大值,即sin(2A-
π
6
)
=1,∴A=
π
3

(2)若a=
3
,則BM=
3
2
,△ABM中,由余弦定理可得 c2=
3
4
+AM2-2×
3
2
cos∠AMB ①.
在△ACM中,由余弦定理可得 b2 =
3
4
+AM2-2×
3
2
cos∠AMC=
3
4
+AM2 +2×
3
2
cos∠AMB ②.
把①、②相加可得AM2 =
b2+c2
2
-
3
4

△ABC中,再由余弦定理可得 3=b2+c2-2bc•cosA=b2+c2-bc,
故有  b2+c2 =3+bc>3,且 b2+c2-bc=3≥b2+c2-
b2+c2
2
,
化簡(jiǎn)可得3<b2+c2≤6,∴AM∈(
3
2
,
3
2
].
點(diǎn)評(píng):本題主要考查余弦定理,求三角函數(shù)的最值,以及不等式性質(zhì)的應(yīng)用,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•浙江模擬)已知cos(x-
π
6
)=-
3
3
,則cosx+cos(x-
π
3
)
=( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•浙江模擬)已知函數(shù)f(x)=(x2-ax+1)•ex
(I)當(dāng)a=3時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(II)對(duì)任意b>0,f(x)在區(qū)間[b-lnb,+∞)上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•浙江模擬)在三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率相同,若事件A至少發(fā)生一次的概率為
63
64
,則事件A恰好發(fā)生一次的概率為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•浙江模擬)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓
x2
4a
+
y2
a2+1
=1
的離心率的最大值為( 。

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(2012•浙江模擬)將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐,得到的幾何體如圖所示,則該幾何體的側(cè)視圖為( 。

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