Question

1．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC垂直于正方形A₁ACC₁所在平面，AC=2，BC=1，D為AC中點，E為線段BC₁上的一點（端點除外），平面AB₁E與BD交于點F
（Ⅰ）若E不是BC₁的中點，求證：AB₁∥EF；
（Ⅱ）若E是BC₁的中點，求AE與平面BC₁D所成角的正弦值；
（Ⅲ）在線段BC₁上是否存在點E，使得A₁E⊥CE，若存在，求出$\frac{BE}{E{C}_{1}}$的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）連接B₁C，交BC₁于點G，連接GD，則由中位線定理得出GD∥AB₁，于是AB₁∥平面BC₁D，由線面平行的性質(zhì)得出AB₁∥EF；
（II）以C₁為原點建立空間坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{AE}$和平面BC₁D的法向量$\overrightarrow{n}$，則AE與平面BC₁D所成角的正弦值為|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AE}$＞|；
（III）設(shè)$\frac{BE}{E{C}_{1}}$=λ，求出$\overrightarrow{{A}_{1}E}$和$\overrightarrow{CE}$的坐標(biāo)，令$\overrightarrow{{A}_{1}E}$•$\overrightarrow{CE}$=0解出λ．

解答 證明：（I）連接B₁C，交BC₁于點G，連接GD．
∵四邊形BCC₁B₁是平行四邊形，∴G為B₁C的中點，
∵D為AC中點，
∴GD∥AB₁．又GD?平面BC₁D，AB₁?平面BC₁D，
∴AB₁∥平面BC₁D．
∵AB₁?平面AB₁EF，平面AB₁EF∩平面BC₁D=EF，
∴AB₁∥EF．
（II） 以C₁為原點，以C₁A₁，C₁C，C₁B₁為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．
則A（2，2，0），E（0，1，$\frac{1}{2}$），B（0，2，1），C₁（0，0，0），D（1，2，0）．
∴$\overrightarrow{AE}$=（-2，-1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{{C}_{1}B}$=（0，2，1），$\overrightarrow{{C}_{1}D}$=（1，2，0）．
設(shè)平面BC₁D的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}B}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}D}=0}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{2y+z=0}\\{x+2y=0}\end{array}\right.$，令y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-2，1，-2）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AE}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AE}|}$=$\frac{2}{3\sqrt{\frac{21}{4}}}$=$\frac{4\sqrt{21}}{63}$．
∴AE與平面BC₁D所成角的正弦值為$\frac{4\sqrt{21}}{63}$．
（III） 假設(shè)在線段BC₁上存在點E，使得A₁E⊥CE，
設(shè)$\frac{BE}{E{C}_{1}}$=λ，則$\overrightarrow{{C}_{1}E}=\frac{1}{λ+1}\overrightarrow{{C}_{1}B}$=（0，$\frac{2}{λ+1}$，$\frac{1}{λ+1}$）．
∴$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=$\overrightarrow{{C}_{1}E}$-$\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}$=（-2，$\frac{2}{λ+1}$，$\frac{1}{λ+1}$），$\overrightarrow{CE}$=$\overrightarrow{C{C}_{1}}+\overrightarrow{{C}_{1}E}$=（0，-$\frac{2λ}{λ+1}$，$\frac{1}{λ+1}$）．
∵A₁E⊥CE，∴$\overrightarrow{{A}_{1}E}•\overrightarrow{CE}=0$．即$\frac{-4λ}{（λ+1）^{2}}+\frac{1}{（λ+1）^{2}}=0$．
解得：λ=$\frac{1}{4}$．
∴在線段BC₁上存在點E，使得A₁E⊥CE，且$\frac{BE}{{C}_{1}E}$=$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了線面平行的判定與性質(zhì)，空間向量與空間角的計算，屬于中檔題．