Question

(本小題滿分12分) 已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)

作直線交雙曲線C的右支于兩點(diǎn)，試確定的范圍，使以為直徑的圓過雙曲線的中心.

Answer 1

解析:

設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由已知易求B（1，0），

①當(dāng)MN垂直于x軸時(shí)，MN的方程為x=1，

設(shè)M（1，y₀），N（1，-y₀）（y₀＞0），要使以為直徑的圓過雙曲線的中心，只需·=0，即y₀=1，此時(shí)M（1，1），N（1，-1）.

又M（1，1），N（1，-1）在雙曲線上，只需-=1即²+-1=0 ，=，                 因?yàn)?＜＜1,所以=.         --------4分

       ②當(dāng)MN不垂直于x軸時(shí)，設(shè)MN的方程為y=k(x-1).

由,得［-(1-)k²］x²+2(1-)k²x-(1-)(k²+)=0,--------6分

由題意知：

于是,              --------8分

要使以為直徑的圓過雙曲線的中心，只需·=0，又M、N在雙曲線右支上，

只需   即

?亦即 ＜＜.       --------10分

綜上所述的取值范圍是           -------12分