Question

20．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA₁=6，點E、F分別在棱BB₁、CC₁上，且BE=$\frac{1}{3}$BB₁，C₁F=$\frac{1}{3}$CC₁．
（1）作出平面AEF與平面ABC的交線l（寫出作法），并判斷l(xiāng)與平面BCFE的位置關(guān)系；
（2）求多面體B₁E-AFC₁A₁的體積．

Answer 1

分析 （1）在平面BCC₁B₁內(nèi)延長FE，CB交于G，連接AG，則AG即為平面AEF與平面ABC的交線l，進而判定出位置關(guān)系．
（2）多面體B₁E-AFCA₁的體積=${V}_{三棱柱ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$-V_四棱錐A-BCFE=S_△ABC•AA₁-$\frac{1}{3}$S_{四邊形BCFE}•AH即可得出．

解答 解：（1）在平面BCC₁B₁內(nèi)延長FE，CB交于G，連接AG
則AG即為平面AEF與平面ABC的交線l，故l與平面BCFE是相交的．
（2）過A作AH⊥BC于H，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵平面BCC₁B₁⊥平面ABC，平面BCC₁B₁∩平面ABC=BC，
∴AH⊥平面BCC₁B₁．
∵∠BAC=90°，AB=AC=2，∴$AH=\sqrt{2}$．
∵AA₁=6，點E、F分別在棱BB₁、CC₁上，且$BE=\frac{1}{3}B{B_1}，{C_1}F=\frac{1}{3}C{C_1}$，
∴四邊形BCFE的面積是$\frac{2+4}{2}×2\sqrt{2}=6\sqrt{2}$．
∴${V_{四棱錐A-BCFE}}=\frac{1}{3}•{S_{BCFE}}•AH=4$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}×{2}^{2}$=2，
∴多面體B₁E-AFC₁A₁的體積=${V}_{三棱柱ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$-V_四棱錐A-BCFE
=S_△ABC•AA₁-$\frac{1}{3}$S_{四邊形BCFE}•AH=12-4=8．

點評 本題考查了直三棱柱的體積計算公式、正四棱錐的體積計算公式、空間位置關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．