Question

20．過點P（-1，-2）的直線l分別交x軸的負半軸和y軸的負半軸于A，B兩點．
（1）當PA•PB最小時，求l的方程；
（2）設△AOB的面積為S，討論這樣的直線l的條數．

Answer 1

分析 （1）根據題意畫出圖形，結合圖形，表示出PA•PB，求出它取最小值時直線l的方程即可．
（2）因為△AOB的面積為S，設直線l的斜率為k（k＜0），則過點P（-1，-2）的直線l的直線方程為y+2=k（x+1），根據三角形的面積公式得到2S=|k-2|•|$\frac{2}{k}$-1|，即為k²+（2S-4）k+4=0，根據判別式討論解得情況，即可得到直線l的條數．

解答 解：（1）根據題意，畫出圖形，如圖所示：
設∠BAO=θ，則0°＜θ＜90°，
PA=$\frac{2}{sinθ}$，PB=$\frac{1}{cosθ}$，
∴PA•PB=$\frac{2}{sinθ}$•$\frac{1}{cosθ}$=$\frac{4}{sin2θ}$，
當2θ=90°，即θ=45°時，
PA•PB取得最小值，
此時直線的傾斜角為135°，斜率為-1，
∴直線l的方程為y+2=-1（x+1），
化簡得x+y+3=0，
（2）因為△AOB的面積為S，設直線l的斜率為k（k＜0），
∴點P（-1，-2）的直線l的直線方程為y+2=k（x+1），
當x=0時，y=k-2，
當y=0時，x=$\frac{2}{k}$-1，
∴2S=|k-2|•|$\frac{2}{k}$-1|=（2-k）（1-$\frac{2}{k}$）=2+2-$\frac{4}{k}$-k，
∴k²+（2S-4）k+4=0，
當△＜0時，即（2S-4）²-4×4＜0，解得0＜S＜4時，方程無解，此時直線的條數為0，
當△=0時，即（2S-4）²-4×4=0，解得S=4時，方程有一個解，解得k=-2，此時直線的條數為1，
當△＞0時，即（2S-4）²-4×4＞0，解得S＞4時，方程有兩個解，解得k=-（s-2）±$\sqrt{（s-2）^{2}-4}$＜0，此時直線的條數為2．

點評 本題考查直角三角形中的邊角關系，三角函數的最值問題，也考查了用點斜式求直線的方程的應用問題，以及根的判別式的應用，屬于中檔題．