Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³-3x²，（a∈R），且x=2是y=f（x）的極值點(diǎn)．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值，并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）=e^x•f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）先對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，根據(jù)f′（2）=0可求出a的值，再由導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減可得答案．
（2）先求出函數(shù)g（x）的解析式然后求導(dǎo)，再由導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減可得答案．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），因?yàn)閤=2是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)，
所以f′（2）=0，即6（2a-2）=0，因此a=1．
經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)a=1時(shí)，x=2是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)．所以f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）．
所以y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，0），（2，+∞）；單調(diào)減區(qū)間是（0，2）
（Ⅱ）g（x）=e^x（x³-3x²），
g′（x）=e^x（x³-3x²+3x²-6x）=e^x（x³-6x）=x(x+

6

)(x-

6

)ex，
因?yàn)閑^x＞0，所以，y=g（x）的單調(diào)增區(qū)間是(-

6

，0)，(

6

，+∞)；
單調(diào)減區(qū)間是(-∞，-

6

)，(0，

6

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．