【答案】
分析:(Ⅰ)根據(jù)新定義,計(jì)算經(jīng)變換T
1(4);T
2(2);T
3(1),或T
1(2);T
2(2);T
3(2);T
4(1),可得結(jié)論;
(Ⅱ)記經(jīng)過T
k(c
k)變換后,數(shù)列為
.取
,
,繼續(xù)做類似的變換,取
,(k≤n-1),經(jīng)T
k(c
k)后,得到數(shù)列的前k+1項(xiàng)相等,再取
,經(jīng)T
n(c
n)后,即可得到結(jié)論;
(Ⅲ)不存在“n-1次歸零變換”.利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.
解答:解:(Ⅰ)方法1:T
1(4):3,1,1,3;T
2(2):1,1,1,1;T
3(1):0,0,0,0.
方法2:T
1(2):1,1,3,5;T
2(2):1,1,1,3;T
3(2):1,1,1,1;T
4(1):0,0,0,0..…(4分)
(Ⅱ)經(jīng)過k次變換后,數(shù)列記為
,k=1,2,….
取
,則
,即經(jīng)T
1(c
1)后,前兩項(xiàng)相等;
取
,則
,即經(jīng)T
2(c
2)后,前3項(xiàng)相等;
…
設(shè)進(jìn)行變換T
k(c
k)時(shí),其中
,變換后數(shù)列變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103100549896574844/SYS201311031005498965748019_DA/11.png">,則
;
那么,進(jìn)行第k+1次變換時(shí),取
,
則變換后數(shù)列變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103100549896574844/SYS201311031005498965748019_DA/14.png">,
顯然有
;
…
經(jīng)過n-1次變換后,顯然有
;
最后,取
,經(jīng)過變換T
n(c
n)后,數(shù)列各項(xiàng)均為0.
所以對任意數(shù)列,都存在“n次歸零變換”. …(9分)
(Ⅲ)不存在“n-1次歸零變換”.…(10分)
證明:首先,“歸零變換”過程中,若在其中進(jìn)行某一次變換T
j(c
j)時(shí),c
j<min{a
1,a
2,…,a
n},那么此變換次數(shù)便不是最少.這是因?yàn),這次變換并不是最后的一次變換(因它并未使數(shù)列化為全零),設(shè)先進(jìn)行T
j(c
j)后,再進(jìn)行T
j+1(c
j+1),由||a
i-c
j|-c
j+1|=|a
i-(c
j+c
j+1)|,即等價(jià)于一次變換T
j(c
j+c
j+1),同理,進(jìn)行某一步T
j(c
j)時(shí),c
j>max{a
1,a
2,…,a
n};此變換步數(shù)也不是最小.
由以上分析可知,如果某一數(shù)列經(jīng)最少的次數(shù)的“歸零變換”,每一步所取的c
i滿足min{a
1,a
2,…,a
n}≤c
i≤max{a
1,a
2,…,a
n}.
以下用數(shù)學(xué)歸納法來證明,對已給數(shù)列,不存在“n-1次歸零變換”.
(1)當(dāng)n=2時(shí),對于1,4,顯然不存在“一次歸零變換”,結(jié)論成立.
(由(Ⅱ)可知,存在“兩次歸零變換”變換:
)
(2)假設(shè)n=k時(shí)成立,即1,2
2,3
3,…,k
k不存在“k-1次歸零變換”.
當(dāng)n=k+1時(shí),假設(shè)1,2
2,3
3,…,k
k,(k+1)
k+1存在“k次歸零變換”.
此時(shí),對1,2
2,3
3,…,k
k也顯然是“k次歸零變換”,由歸納假設(shè)以及前面的討論不難知1,2
2,3
3,…,k
k不存在“k-1次歸零變換”,則k是最少的變換次數(shù),每一次變換c
i一定滿足
,i=1,2,…,k.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103100549896574844/SYS201311031005498965748019_DA/20.png">≥(k+1)
k+1-k•k
k>0
所以,(k+1)
k+1絕不可能變換為0,與歸納假設(shè)矛盾.
所以,當(dāng)n=k+1時(shí)不存在“k次歸零變換”.
由(1)(2)命題得證. …(13分)
點(diǎn)評:本題考查數(shù)學(xué)歸納法,考查新定義,考查學(xué)生分析解決問題的能力,難度較大.