Question

已知F₁、F₂分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，其左準線與x軸相交于點N，并且滿足，

F1F2

=2

NF1

，|

F1F2

|=2．
（1）求此橢圓的方程；
（2）設A、B是這個橢圓上的兩點，并且滿足

NA

=λ

NB

，當λ∈[

1

5

，

1

3

]時，求直線AB的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題設知

2c= F1F2 |=2 a2 c -1= NF1 |=1 a2=b2+c2.

，解此方程組能夠得到所求橢圓的方程．
（2）設直線AB的方程為y=k（x+2），由

y=k(x+2) x2 2 +y2=1

消去x得(

1

k

y-2)2+2y2=2，解得0＜|k|＜

2

2

．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），再根據(jù)韋達定理結合題設條件進行求解．

解答：解：（1）由于

F1F2

=2

NF1

，|

F1F2

|=2，∴

2c= F1F2 |=2 a2 c -1= NF1 |=1 a2=b2+c2.

（3分）
解得

a2=2 b2=1

，從而所求橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．（5分）
（2）∵

NA

=λ

NB

，?∴A，B，N三點共線，而點N的坐標為（-2，0）．
設直線AB的方程為y=k（x+2），
其中k為直線AB的斜率，依條件知k≠0．
由

y=k(x+2) x2 2 +y2=1

消去x得(

1

k

y-2)2+2y2=2，
即

2k2+1

k2

y2-

4

k

y+2=0．（6分）
根據(jù)條件可知

△=( 4 k )2-8• 2k2+1 k2 ＞0 k≠0.

解得0＜|k|＜

2

2

．（7分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則根據(jù)韋達定理，得

y1+y2= 4k 2k2+1 y1y2= 2k2 2k2+1 .

又由

NA

=λ

NB

，得（x₁+2，y₁）=λ（x₂+2，y₂）
∴

x1+2=λ(x2+2) y1=λy2.

從而

(1+λ)y2= 4k 2k2+1 λ y 2 2 = 2k2 2k2+1 .

消去y₂得

(1+λ)2

λ

=

8

2k2+1

．（10分）
令φ(λ)=

(1+λ)2

λ

，λ∈[

1

5

，

1

3

]，任取

1

5

≤λ1＜λ2≤

1

3

，則φ(λ1)-φ(λ2)=

(1+λ1)2

λ1

-

(1+λ2)2

λ2

=(λ1-λ2)(1-

1

λ1λ2

)＞0．∴φ（λ）是區(qū)間[

1

5

，

1

3

]上的減函數(shù)，（12分）
從而φ(

1

3

)≤φ(λ)≤φ(

1

5

)，
即

16

3

≤φ(λ)≤

36

5

，∴

16

3

≤

8

2k2+1

≤

36

5

，
解得-

1

2

≤k≤-

2

6

或

2

6

≤k≤

1

2

，適合0＜|k|＜

2

2

．
因此直線AB的斜率的取值范圍是[-

1

2

，-

2

6

]∪[

2

6

，

1

2

]．（14分）

點評：本題考查圓錐曲線和直線的位置和應用，解題時要注意公式的靈活運用，合理地進行等價轉化．