Question

設(shè)函數(shù)，其中0＜a＜1，
（1）證明：f（x）是（a，+∞）上的減函數(shù)；
（2）解不等式f（x）＞1．

Answer 1

（1）證明：由1-＞0，得x＞a，所以函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋╝，+∞）．
設(shè)a＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=-，
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/241954.png' />=＜0，所以1-＜1-，
又0＜a＜1，所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）是（a，+∞）上的減函數(shù)；
（2）f（x）＞1，即＞1，也即即＞log_aa，
又0＜a＜1，所以0＜1-＜a，解得a＜x＜．
所以不等式的解集為：（a，）．
分析：（1）利用減函數(shù)的定義即可證明；
（2）化成同底的對數(shù)式，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得真數(shù)的大小關(guān)系，解出即可．
點(diǎn)評：本題考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，相關(guān)性質(zhì)是解決基礎(chǔ)．