Question

10．如圖，已知橢圓Г：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂分別作兩條平行直線AB，CD交橢圓Г于點(diǎn)A、B、C、D．
（Ⅰ）求證：|AB|=|CD|；
（Ⅱ）求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析 （I）設(shè)AB方程為x=my-1，則CD方程為x=my+1，分別與橢圓方程聯(lián)立得出A，B，C，D坐標(biāo)的關(guān)系，利用弦長公式即可得出|AB|=|CD|；
（II）求出S_△AOB的面積的最大值，即可得出四邊形ABCD面積的最大值．

解答 解：（I）F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為x=my-1．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{x=my-1}\end{array}\right.$，消元得（3m²+4）y²-6my-9=0，
∴y₁+y₂=$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$．
設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），直線CD的方程為x=my+1．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，消元得（3m²+4）y²+6my-9=0．
∴y₃+y₄=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₃y₄=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$．
∴y₁+y₂=-（y₃+y₄），y₁y₂=y₃y₄，
∴|y₁-y₂|=|y₃-y₄|，
∵|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$|y₁-y₂|，|CD|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$|y₃-y₄|，
∴|AB|=|CD|．
（II）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴S_?ABCD=4S_△AOB，
又S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OF₁||y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（\frac{6m}{3{m}^{2}+4}）^{2}+\frac{36}{3{m}^{2}+4}}$=6$\sqrt{\frac{{m}^{2}+1}{（3{m}^{2}+4）^{2}}}$=6$\sqrt{\frac{1}{9（{m}^{2}+1）+\frac{1}{{m}^{2}+1}+6}}$．
設(shè)m²+1=t，f（t）=9t+$\frac{1}{t}$，則t≥1，f′（t）=9-$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0，
∴f（t）在[1，+∞）上為增函數(shù)，∴f（t）≥f（1）=10．
∴S_△AOB≤6$\sqrt{\frac{1}{16}}$=$\frac{3}{2}$，
∴四邊形ABCD面積的最大值為4×$\frac{3}{2}$=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，函數(shù)最值的計(jì)算，屬于中檔題．