【題目】已知函數(shù), .

(1)若曲線在公共點處有相同的切線,求實數(shù)的值;

2)當時,若曲線在公共點處有相同的切線,求證:點唯一;

3)若, ,且曲線總存在公切線,求:正實數(shù)的最小值.

【答案】(1);(2)證明見解析;(3)1.

【解析】試題分析:(1)曲線在公共點處有相同的切線, 解出即可;(2)設(shè)由題設(shè)得,轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程只有一解,進而構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)只有一個零點,利用導(dǎo)數(shù)即可證明;(3)設(shè)曲線在點處的切線方程為,則只需使該切線與相切即可,也即方程組,只有一解即可,所以消去,問題轉(zhuǎn)化關(guān)于方程總有解,分情況借助導(dǎo)數(shù)進行討論即可求得.

試題解析:(1,∵曲線在公共點處有相同的切線∴ ,  解得,

2)設(shè),則由題設(shè)有 ①又在點有共同的切線

代入①得

設(shè),則,

上單調(diào)遞增,所以 0最多只有個實根,

從而,結(jié)合(Ⅰ)可知,滿足題設(shè)的點只能是

3)當,時,,

曲線在點處的切線方程為,即

,得

曲線總存在公切線,∴ 關(guān)于的方程,

總有解.

,則,而,顯然不成立,所以

從而,方程可化為

,則

時,;當時,,即 上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.∴的最小值為

所以,要使方程有解,只須,即

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