Question

已知雙曲線的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)B，且與一條漸近線交于點(diǎn)C，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，又|OA|=2|OB|，過(guò)點(diǎn)F的直線與雙曲線右支交于點(diǎn)M、N，點(diǎn)P為點(diǎn)M關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）證明：B、P、N三點(diǎn)共線．

Answer 1

解：（Ⅰ）A（a，0），B
由
由，
∴
解（1）（2）得a=2，c=4
雙曲線方程為
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
B（1，0），F(xiàn)（4，0）
設(shè)直線l的方程為x=ty+4

設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則
∴（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）
=x₁y₂+x₂y₁-（y₁+y₂）
=（ty₁+4）y₂+（ty₂+4）y₁-（y₁+y₂）
=
所以向量與共線，
即B、P、N三點(diǎn)共線．
分析：（Ⅰ）根據(jù)已知線，表示出A，B的坐標(biāo)．根據(jù)以及，聯(lián)立求出a與c的值，然后寫(xiě)出雙曲線的方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得出B，F(xiàn)的坐標(biāo)，然后設(shè)出直線方程．將直線方程代入雙曲線方程，設(shè)出兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，用設(shè)而不求韋達(dá)定理方法求出y¹+y²，y¹•y²的值，此時(shí)即可表示出，最后根據(jù)向量共線的定義即可判定B、P、N三點(diǎn)共線．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，以及雙曲線的方程．根據(jù)以及，聯(lián)立求出a與c的值是關(guān)鍵．第二問(wèn)在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上運(yùn)用設(shè)而不求韋達(dá)定理方法求出y¹+y²，y¹•y²的值．屬于中檔題．