Question

（1）選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣M有特征值λ=3及對應的一個特征向量

e1

=

1 1

，并且矩陣M對應的變換將點（-1，2）變換成（3，0），求矩陣M．
（2）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
過點M（3，4），傾斜角為

π

6

的直線l與圓C：

x=2+5cosθ y=1+5sinθ

（θ為參數(shù)）相交于A、B兩點，試確定|MA|•|MB|的值．
（3）選修4-5：不等式選講
已知實數(shù)a，b，c，d，e滿足a+b+c+d+e=8，a²+b²+c²+d²+e²=16，試確定e的最大值．

Answer 1

分析：（1）先設矩陣 A=

ab cd

，這里a，b，c，d∈R，由二階矩陣M有特征值λ=3及對應的一個特征向量e₁及矩陣M對應的變換將（-1，2）變換成（3，0），得到關于a，b，c，d的方程組，即可求得矩陣M；
（2）先將曲線的參數(shù)方程化成普通方程，再將直線的參數(shù)方程代入其中，得到一個關于t的二次方程，最后結合參數(shù)t的幾何意義利用根與系數(shù)之間的關系即可求得距離之積．
（3）首先分析題目已知a²+b²+c²+d²+e²=16，可以考慮到柯西不等式的應用，建立關于e 的不等關系后，再根據(jù)不等式的解法即可．

解答：解：（1）設矩陣 A=

ab cd

，這里a，b，c，d∈R，
則 A=

ab cd

1 1

=3

1 1

，故

a+b=3 c+d=3

ab cd

-1 2

=

3 0

，故

-a+2b=3 -c+2d=0

聯(lián)立以上兩方程組解得a=1，b=2，c=2，d=1，故M=

12 21

．
（2）由已知得直線l的參數(shù)方程為

x=3+tcos π 6 y=4+tsin π 6

（t為參數(shù)），
即

x=3+ 3 2 t y=4+ 1 3 t

（t為參數(shù)）．（3分）
曲線的普通方程為（x-2）²+（y-1）²=25．（6分）
把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，得
t²+（

3

+3）t-15=0，
∴t₁t₂=15，（8分）
∴點P到A，B兩點的距離之積為15．（10分）
（3）由柯西不等式，（a+b+c+d）²≤（1²+1²+1²+1²）（a²+b²+c²+d²）
所以得：4（16-e）²≥（8-e）²．
解得：0≤e≤

16

5

不姐僅當a=b=c=d=

6

5

時，e取最大值

16

5

．

點評：本題主要考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計算、考查圓的參數(shù)方程、參數(shù)方程的概念、一元二次方程等基礎知識，、不等式的證明問題，其中涉及到柯西不等式和基本不等式的應用問題，有一定的技巧性，需要同學們對兩種不等式非常熟練，屬于中檔題目．