Question

1．某市為了提升市民素質(zhì)和城市文明程度，促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展有大的提速，對(duì)市民進(jìn)行了“生活滿意”度的調(diào)查．現(xiàn)隨機(jī)抽取30位市民，對(duì)他們的生活滿意指數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下分布列：

滿意級(jí)別	非常滿意	滿意	一般	不滿意
滿意指數(shù)（分）	90	60	30	0
人數(shù)（個(gè)）	14	10	5	1

（I）求這30位市民滿意指數(shù)的平均值；
（II）以這30人為樣本的滿意指數(shù)來(lái)估計(jì)全市市民的總體滿意指數(shù)，若從全市市民（人數(shù)很多）中任選3人，記ξ表示抽到滿意級(jí)別為“非常滿意或滿意”的市民人數(shù)．求ξ的分布列；
（III）從這30位市民中，先隨機(jī)選一個(gè)人，記他的滿意指數(shù)為m，然后再隨機(jī)選另一個(gè)人，記他的滿意指數(shù)為n，求n≥m+6的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由平均數(shù)公式能求出這30位市民滿意指數(shù)的平均值．
（Ⅱ）由題意ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列．
（3）設(shè)所有滿足條件n＞=m+60的事件記為A，分別求出滿足m=0，n=60和m=0，n=90及m=30，n=60的事件數(shù)，從而向到事件A所包含的事件總數(shù)，由此能求出n≥m+6的概率P（A）．

解答 解：（Ⅰ）現(xiàn)隨機(jī)抽取30位市民，對(duì)他們的生活滿意指數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，由得到得分布列，知：
這30位市民滿意指數(shù)的平均值$\overline{x}$=$\frac{1}{30}$（90×14+60×10+30×5+0×1）=67．
（Ⅱ）由題意ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=（$\frac{1}{5}$）³=$\frac{1}{125}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{4}{5}）（\frac{1}{5}）^{2}$=$\frac{12}{125}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{4}{5}）^{2}（\frac{1}{5}）$=$\frac{48}{125}$，
P（ξ=3）=（$\frac{4}{5}$）³=$\frac{64}{125}$，
所以，ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{64}{125}$

（3）設(shè)所有滿足條件n＞=m+60的事件記為A
則滿足m=0，n=60的事件數(shù)為：${C}_{1}^{1}{C}_{10}^{1}$=10，
滿足m=0，n=90的事件數(shù)為：${C}_{1}^{1}{C}_{14}^{1}$=14，
滿足m=30，n=60的事件數(shù)為：${C}_{5}^{1}{C}_{14}^{1}$=70，
所以事件A所包含的事件總數(shù)為：10+14+70=94，
所以n≥m+6的概率P（A）=$\frac{94}{{C}_{30}^{2}}$=$\frac{94}{435}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平均數(shù)的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列的求法，考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．