觀察下列等式:
(1+1)=2×1
(2+1)(2+2)=22×1×3
(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5

照以上式子規(guī)律:
(1)寫出第4個(gè)等式,并猜想第n個(gè)等式;(n∈N*
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明上述所猜想的第n個(gè)等式成立.(n∈N*
考點(diǎn):數(shù)學(xué)歸納法,歸納推理
專題:點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法
分析:(1)利用已知條件,觀察規(guī)律寫出第4個(gè)等式,并猜想第n個(gè)等式;(n∈N*
(2)用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟證明上述所猜想的第n個(gè)等式成立.(n∈N*
解答: 解:(1)(1+1)=2×1,
(2+1)(2+2)=22×1×3,
(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5,
第4個(gè)等式,(4+1)(4+2)(4+3)(4+4)=24×1×3×5×7;
猜想第n個(gè)等式:(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1)(n∈N*
(2)①當(dāng)n=1時(shí),左邊=(1+1)=2,右邊=2×1=2等式成立; 
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),原式成立,即:(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)=2k×1×3×5×…×(2k-1)(k∈N*
那么,當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=:(k+1+1)(k+1+2)(k+1+3)…(k+1+k-1)(k+1+k)(k+1+k+1)
=
[(k+1)(k+2)(k+3)…(k+1+k-1)](k+1+k)(k+1+k+1)
k+1

=
2k×1×3×5×…×(2k-1)(2k+1)(2k+2)
k+1

=2k+1×1×3×5×…×(2k+1)=右邊,
故n=k+1時(shí),等式也成立.
由①②知:(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1)(n∈N*) 成立.
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立,注意證明步驟的應(yīng)用,缺一不可.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列命題正確的個(gè)數(shù)是( 。
(1)若直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在α內(nèi),則l∥α
(2)若直線l與平面α平行,l與平面α內(nèi)的任意一直線平行
(3)兩條平行線中的一條直線與平面平行,那么另一條也與這個(gè)平面平行
(4)若一直線a和平面α內(nèi)一直線b平行,則a∥α
A、0個(gè)B、1個(gè)C、2個(gè)D、3個(gè)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a,點(diǎn)M、N分別是邊AB、CD的中點(diǎn),求證:
(1)MN為AB和CD的公垂線;     
(2)求MN的長(zhǎng);
(3)求異面直線AN與CM所成角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為菱形,AB=1,AA1=
6
2
,∠ABC=60°.證明:BD1⊥平面AB1C.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知離心率為
1
2
的橢圓C1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,拋物線C2:y2=4x的焦點(diǎn)為F2
(Ⅰ)求橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若過焦點(diǎn)F2的直線l與拋物線C2交于A,B兩點(diǎn),問在橢圓C1上且在直線l外是否存在一點(diǎn)M,使直線MA,MF2,MB的斜率依次成等差數(shù)列,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
ex
ex
,g(x)=mx-lnx-tm.
(1)求函數(shù)f(x)在x∈(0,+∞)上的值域;
(2)若m∈[
e
,e2],對(duì)?x1,x2∈(0,+∞),f(x1)≤g(x2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

化簡(jiǎn):(
1
2
)2+(
1
2
)4+(
1
2
)6+…+(
1
2
)n-1
(n為奇數(shù)).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(2ωx-
π
6
)+λ(x∈R)的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱,其中ω,λ為常數(shù),且ω∈(
1
2
,1)
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若y=f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(
π
4
,0),求函數(shù)f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額,需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間,為此進(jìn)行了4次試驗(yàn).收集數(shù)據(jù)如下:
零件個(gè)數(shù)x(個(gè)) 1 2 3 4
加工時(shí)間y(小時(shí)) 2 3 5 8
(Ⅰ)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;
(Ⅱ)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程
y
=
b
x+
a
;
(Ⅲ)現(xiàn)需生產(chǎn)20件此零件,預(yù)測(cè)需用多長(zhǎng)時(shí)間?
(注:用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式
b
=
n
i=1
xiyi-n
.
x
.
y
n
i=1
xi2-n
.
x
2
a
=
.
y
-
b
.
x

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