Question

15．如圖所示，AB是⊙O的直徑，G為AB延長線上的一點，GCD是⊙O的割線，過點G作AB的垂線，交AC的延長線于點E，交AD的延長線于點F．求證：
（Ⅰ）GB•GA=GE•GF；
（Ⅱ）若AD=GB=OA=1，求GE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BC，證得∠FDC+∠CEF=180°，可得C、D、F、E四點共圓，運用圓的割線定理，即可得證；
（Ⅱ）證得△AOD為等邊三角形，結(jié)合條件和（Ⅰ）的結(jié)論，即可得到GE的長．

解答 證明：（Ⅰ）連接BC，
∵AB是圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AG⊥FG，
∴∠AGE=90°，
又∠EAG=∠BAC，
∴∠ABC=∠AEG，
又∠FDC=∠ABC，
∴∠FDC=∠AEG，
∴∠FDC+∠CEF=180°，
∴C、D、F、E四點共圓，
∴GE•GF=GC•GD，
又A、B、C、D在圓O上，
∴GB•GA=GC•GD，
∴GB•GA=GE•GF．
（Ⅱ）∵AD=OA=1，又OD=OA，
∴∠OAD=60°，
又AG⊥FG，
∴∠F=30°，
由AD=GB=OA=1，可得AG=3，
∴FG=$\sqrt{3}$AG=3$\sqrt{3}$，
由（Ⅰ）可得GE=$\frac{GB•GA}{GF}$=$\frac{1×3}{3\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查四點共圓的判定和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓的切割線定理的運用，考查推理和運算能力，屬于中檔題．