已知函數(shù)f（x）=x|x-a|+2x．
（1）若函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求所有的實(shí)數(shù)a，使得對任意x∈[1，2]時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）=2x+1圖象的下方；
（3）若存在a∈[-4，4]，使得關(guān)于x的方程f（x）=tf（a）有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
分析：（1）由題意知f（x）在R上是增函數(shù)，則
即-2≤a≤2，則a范圍．
（2）由題意得對任意的實(shí)數(shù)x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，即
|x-a|＜，
-＜x-a＜，
x-＜a＜x+，故只要
x-＜a且
a＜x+在x∈[1，2]上恒成立即可，在x∈[1，2]時(shí)，只要
x-的最大值小于a且
x+的最小值大于a即可．由此可知答案．
（3）當(dāng)-2≤a≤2時(shí)，f（x）在R上是增函數(shù)，則關(guān)于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根存在a∈（2，4]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三個(gè)不相等的實(shí)根，則
2ta∈(2a，)，即存在a∈（2，4]，使得
t∈(1，)即可，由此可證出實(shí)數(shù)t的取值范圍為
(1，)．
解答：解：（1）
f(x)=x|x-a|+2x= | | x2+(2-a)x，x≥a | | -x2+(2+a)x，x＜a |
| |
由f（x）在R上是增函數(shù)，則
即-2≤a≤2，則a范圍為-2≤a≤2；（4分）
（2）由題意得對任意的實(shí)數(shù)x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，
即x|x-a|＜1，當(dāng)x∈[1，2]恒成立，即
|x-a|＜，
-＜x-a＜，
x-＜a＜x+，故只要
x-＜a且
a＜x+在x∈[1，2]上恒成立即可，
在x∈[1，2]時(shí)，只要
x-的最大值小于a且
x+的最小值大于a即可，（6分）
而當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，
(x-)′=1+＞0，
x-為增函數(shù)，
(x-)max=；
當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，
(x+)′=1-＞0，
x+為增函數(shù)，
(x+)min=2，
所以
＜a＜2；（10分）
（3）當(dāng)-2≤a≤2時(shí)，f（x）在R上是增函數(shù)，則關(guān)于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；（11分）
則當(dāng)a∈（2，4]時(shí)，由
f(x)= | | x2+(2-a)x，x≥a | | -x2+(2+a)x，x＜a |
| |
得x≥a時(shí)，f（x）=x
2+（2-a）x對稱軸
x=＜a，
則f（x）在x∈[a，+∞）為增函數(shù)，此時(shí)f（x）的值域?yàn)閇f（a），+∞）=[2a，+∞），x＜a時(shí)，f（x）=-x
2+（2+a）x對稱軸
x=＜a，
則f（x）在
x∈(-∞，]為增函數(shù)，此時(shí)f（x）的值域?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">(-∞，
]，f（x）在
x∈[，a)為減函數(shù)，此時(shí)f（x）的值域?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">(2a，
]；
由存在a∈（2，4]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三個(gè)不相等的實(shí)根，則
2ta∈(2a，)，
即存在a∈（2，4]，使得
t∈(1，)即可，令
g(a)==(a++4)，
只要使t＜（g（a））
max即可，而g（a）在a∈（2，4]上是增函數(shù)，
(g(a))max=g(4)=，
故實(shí)數(shù)t的取值范圍為
(1，)；（15分）
同理可求當(dāng)a∈[-4，-2）時(shí)，t的取值范圍為
(1，)；
綜上所述，實(shí)數(shù)t的取值范圍為
(1，)．（16分）
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題．
已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜