已知a＞0，b＞0，a，b的等差中項是
1
2
，且α=a+
1
a
，β=b+
1
b
，求α+β的最小值．
分析：根據(jù)等差中項的性質(zhì)得a+b=1，再把此式和條件代入“α+β”進行整理，根據(jù)條件和式子的特點利用基本不等式求出最小值．
解答：解：由a，b的等差中項是
1
2
得，a+b=1，
∵a＞0，b＞0，
∴α+β=a+b+
1
a
+
1
b
=1+
a+b
a
+
a+b
b

=3+
b
a
+
a
b
≥3+2=5，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號，
則α+β的最小值是5．
點評：本題考查了等差中項的性質(zhì)和基本不等式求最值的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是化簡過程中的“1”代換問題，湊出積為定值．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0，b＞0，且ab=1，α=a+
4
a
，β=b+
4
b
，則α+β的最小值為（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，判斷曲線C：
x=2cosθ
y=sinθ
（θ為參數(shù)）與直線l：
x=1+2t
y=1-t
（t為參數(shù)）是否有公共點，并證明你的結(jié)論．
（2）已知a＞0，b＞0，a+b=1，求證：
1
2a+1
+
4
2b+1
≥
9
4
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•松江區(qū)二模）已知雙曲線C的中心在原點，D（1，0）是它的一個頂點，
d
=(1，
2
)是它的一條漸近線的一個方向向量．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過點（-3，0）任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點 （A，B都不同于點D），求證：
DA
•
DB
為定值；
（3）對于雙曲線Γ：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E為它的右頂點，M，N為雙曲線Γ上的兩點（都不同于點E），且EM⊥EN，那么直線MN是否過定點？若是，請求出此定點的坐標(biāo)；若不是，說明理由．然后在以下三個情形中選擇一個，寫出類似結(jié)論（不要求書寫求解或證明過程）．
情形一：雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)及它的左頂點；
情形二：拋物線y2=2px（p＞0）及它的頂點；
情形三：橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)及它的頂點．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0，b＞0，a+b=1，則a+
1
a
+b+
1
b
的最小值為
5
5
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：松江區(qū)二模 題型：解答題

已知雙曲線C的中心在原點，D（1，0）是它的一個頂點，
d
=(1，
2
)是它的一條漸近線的一個方向向量．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過點（-3，0）任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點 （A，B都不同于點D），求證：
DA
•
DB
為定值；
（3）對于雙曲線Γ：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E為它的右頂點，M，N為雙曲線Γ上的兩點（都不同于點E），且EM⊥EN，那么直線MN是否過定點？若是，請求出此定點的坐標(biāo)；若不是，說明理由．然后在以下三個情形中選擇一個，寫出類似結(jié)論（不要求書寫求解或證明過程）．
情形一：雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)及它的左頂點；
情形二：拋物線y2=2px（p＞0）及它的頂點；
情形三：橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)及它的頂點．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案