Question

如圖，在四面體ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1
（Ⅰ）求四面體ABCD的體積；
（Ⅱ）求二面角C-AB-D的平面角的正切值．

Answer 1

分析：法一：幾何法，
（Ⅰ）過D作DF⊥AC，垂足為F，由平面ABC⊥平面ACD，由面面垂直的性質，可得DF是四面體ABCD的面ABC上的高；設G為邊CD的中點，可得AG⊥CD，計算可得AG與DF的長，進而可得S_△ABC，由棱錐體積公式，計算可得答案；
（Ⅱ）過F作FE⊥AB，垂足為E，連接DE，分析可得∠DEF為二面角C-AB-D的平面角，計算可得EF的長，由（Ⅰ）中DF的值，結合正切的定義，可得答案．
法二：向量法，
（Ⅰ）首先建立坐標系，根據(jù)題意，設O是AC的中點，過O作OH⊥AC，交AB與H，過O作OM⊥AC，交AD與M；易知OH⊥OM，因此可以以O為原點，以射線OH、OC、OM為x軸、y軸、z軸，建立空間坐標系O-XYZ，進而可得B、D的坐標；從而可得△ACD邊AC的高即棱住的高與底面的面積，計算可得答案；
（Ⅱ）設非零向量

n

=（l，m，n）是平面ABD的法向量，由（Ⅰ）易得向量

n

的坐標，同時易得

k

=（0，0，1）是平面ABC的法向量，由向量的夾角公式可得從而cos＜

n

，

k

＞，進而由同角三角函數(shù)的基本關系，可得tan＜

n

，

k

＞，即可得答案．

解答：解：法一
（Ⅰ）如圖：過D作DF⊥AC，垂足為F，由平面ABC⊥平面ACD，
可得DF⊥平面ABC，即DF是四面體ABCD的面ABC上的高；
設G為邊CD的中點，由AC=AD，可得AG⊥CD，
則AG=

AC2-CG2

=

4- 1 4

=

15

2

；
由S_△ADC=

1

2

AC•DF=

1

2

CD•AG可得，DF=

AG•CD

AC

=

15

4

；
在Rt△ABC中，AB=

AC2-BC2

=

3

，
S_△ABC=

1

2

AB•BC=

3

2

；
故四面體的體積V=

1

3

×S_△ABC×DF=

5

8

；
（Ⅱ）如圖，過F作FE⊥AB，垂足為E，連接DE，
由（Ⅰ）知DF⊥平面ABC，由三垂線定理可得DE⊥AB，故∠DEF為二面角C-AB-D的平面角，
在Rt△AFD中，AF=

AD2-DF2

=

4- 15 16

=

7

4

；
在Rt△ABC中，EF∥BC，從而

EF

BC

=

AF

AC

，可得EF=

7

8

；
在Rt△DEF中，tan∠DEF=

DF

EF

=

2 15

7

．
則二面角C-AB-D的平面角的正切值為

2 15

7

．
解法二：（Ⅰ）如圖（2）
設O是AC的中點，過O作OH⊥AB，交AB與H，過O作OM⊥AC，交AD與M；
由平面ABC⊥平面ACD，知OH⊥OM，
因此以O為原點，以射線OH、OC、OM為x軸、y軸、z軸，建立空間坐標系O-XYZ，
已知AC=2，故A、C的坐標分別為A（0，-1，0），C（0，1，0）；
設點B的坐標為（x₁，y₁，0），由

AB

⊥

BC

，|

BC

|=1；
有

x  2 1 + y  2 1 =1 x  2 1 +(y1-1)2=1

，
解可得

x1= 3 2 y1= 1 2

或

x1=- 3 2 y1= 1 2

（舍）；
即B的坐標為（

3

2

，

1

2

，0），
又舍D的坐標為（0，y₂，z₂），
由|

CD

|=1，|

AD

|=2，有（y₂-1）²+z₂²=1且（y₂+1）²+z₂²=1；
解可得

y2= 3 4 z2= 15 4

或

y2= 3 4 z2=- 15 4

（舍），
則D的坐標為（0，

3

4

，

15

4

），
從而可得△ACD邊AC的高為h=|z₂|=

15

4

又|

AB

|=

3

，|

BC

|=1；
故四面體的體積V=

1

3

×

1

2

×|

AB

|×|

BC

|h=

5

8

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

AB

=（

3

2

，

3

2

，0），

AD

=（0，

7

4

，

15

4

），
設非零向量

n

=（l，m，n）是平面ABD的法向量，則由

n

⊥

AB

可得，

3

2

l+

3

2

m=0，（1）；
由

n

⊥

AD

可得，

7

4

m+

15

4

n=0，（2）；
取m=-1，由（1）（2）可得，l=

3

，n=

7 15

15

，即

n

=（

3

，-1，

7 15

15

）
顯然

k

=（0，0，1）是平面ABC的法向量，
從而cos＜

n

，

k

＞=

7 109

109

；
故tan＜

n

，

k

＞=

2 15

7

；
則二面角C-AB-D的平面角的正切值為

2 15

7

．

點評：本題是立體幾何綜合題目，此類題目一般有兩種思路即幾何法與向量法，注意把握兩種思路的特點，進行選擇性的運用．