Question

14．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于$\frac{π}{3}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求最小正實數(shù)m，使得f（x）圖象向左平移m個單位后所對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{3}$，利用周期公式可求ω的值，進(jìn)而可得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）利用三角函數(shù)的圖象關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)的奇偶性即可得到結(jié)論．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵相鄰兩條對稱軸之間的距離等于$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{3}$，
∴T=$\frac{2π}{3}$=$\frac{2π}{|ω|}$，
解得：ω=±3，
∵ω＞0
∴ω=3，
∴f（x）=sin（3x+$\frac{π}{4}$）．
（2）∵f（x）圖象向左平移m個單位后所對應(yīng)的函數(shù)是：
g（x）=sin[3（x+m）+$\frac{π}{4}$]=sin（3x+3m+$\frac{π}{4}$），
∵g（x）是偶函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)3m+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴m=$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{12}$（k∈Z），從而最小正實數(shù)m=$\frac{π}{12}$．

點評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，以及函數(shù)圖象的平移變換，求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．